Question

A opção para a pavimentação desse calçamento foi utilizar pedras em formato de cubo. É comum vermos ruas e passeios com diversos mosaicos desenhados a partir de pedras em formatos geométricos. Essa representação é somente para ilustrar que a matemática está em toda parte, basta olharmos ao nosso redor. Mas pensando na situação apresentada acima, responda: Considerando que uma das arestas mede, em centímetros, (a + b), complete a tabela a seguir. a) a b ( a + b ) 2 a 2 + 2 ab + b 2 ( a + b ) 3 a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 3 2 1 5 b) Explique a relação entre os valores obtidos na tabela.

Answer 1

Os resultados das operações são, respectivamente: 25, 25, 125, 125, 36, 36, 216, 216.

Esta questão está relacionada com equações algébricas. As equações algébricas são as expressões que possuem uma incógnita em forma de letra. Desse modo, para determinar o valor da expressão, devemos substituir um valor para essa incógnita. Assim, a função varia de acordo com o valor utilizado.

Nesse caso, devemos calcular os produtos notáveis entre as medidas "a" e "b". No primeiro caso, temos o produto notável elevado ao quadrado e, depois, o produto notável elevado ao cubo. Portanto:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(3 + 2)² = 3² + 2 x 3 x 2 + 2² = 25

(1 + 5)² = 1² + 2 x 1 x 5 + 5² = 36

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(3 + 2)³ = 3³ + 3 x 3² x 2 + 3 x 3 x 2² + 2³ = 125

(1 + 5)³ = 1³ + 3 x 1² x 5 + 3 x 1 x 5² + 5³ = 216

Answer 2

Considerando $a = 3$ e $b = 2$, temos que $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} = 25$, e $(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3} = 125$. Considerando $a = 1$ e $b = 5$, temos que $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} = 36$, e $(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3} = 216$.

Para completarmos a tabela, precisamos entender o conceito de produtos notáveis. Produtos notáveis são a multiplicação de fatores de um polinômio.

Para o produto notável $(a + b)^{2}$, podemos expandir a expressão como $(a+b)*(a+b)$. Utilizando a propriedade distributiva, somos capazes de obter a expressão $a^{2} + 2ab + b^{2}$. Assim, concluímos que $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$. Portanto, para ambas as expressões, temos os seguintes resultados para $a$ e $b$ variando:

• Para $a = 3$ e $b = 2$, $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} = 25$;
• Para $a = 1$ e $b = 5$, $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} = 36$.

Para o produto notável $(a + b)^{3}$, podemos expandir a expressão como $(a+b)*(a+b)*(a+b)$. Utilizando a propriedade distributiva novamente, obtemos a expressão $a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$. Assim, concluímos que $(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$. Para os valores de $a$ e $b$ variando, obtemos os seguintes valores:

• Para $a = 3$ e $b = 2$, $(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3} = 125$;
• Para $a = 1$ e $b = 5$, $(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3} = 216$.

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