Question

A noção de ideal foi introduzida no final do século XIX pelo matemático alemão Richard Dedekind. Os ideais formam uma classe especial de subanéis e surgiram como ferramenta para o estudo da Teoria dos Números.



Considerando esta noção e os conteúdos das aulas, é correto afirmar que:


a) Z é ideal de Q


b) Z é ideal de R


c) Q é ideal de R


d)J={(u0v0)∈M2(R)} é ideal de M2(R)


e) 2Z={2x; x∈Z} é ideal de Z

Answer 1

Primeiramente, vamos relembrar a definição de Ideal:

Seja (X, +, .) um anel. Um subconjunto não-vazio Y, Y ⊂ X é chamado de um ideal de X se:

• Se a, b ∈ Y, então a + b ∈ Y
• Se a ∈ X e b ∈ Y, então a.b ∈ Y.

Com a definição acima, podemos concluir que a alternativa correta é a letra e), pois:

2Z é um subconjunto não-vazio de Z e é fechado para a adição e o produto, pois:

2a + 2b = 2(a + b) ∈ 2Z

e

a.2b = 2(ab) ∈ 2Z.

Portanto, 2Z é um ideal de Z.