Question

A negação da proposição composta P ∧ ~Q é equivalente à:
Alternativas

Alternativa 1:
P ∨ ~Q.


Alternativa 2:
P ↔ ~Q.


Alternativa 3:
~P ∧ ~Q.


Alternativa 4:
~P ∧ Q.


Alternativa 5:
~P ∨ Q.

Answer 1

Utilizando a dedução lógica e suas propriedades, transformaremos a negação da proposição composta:

¬(p ^ ¬q)

Em uma proposição dentre as apresentadas nas alternativas.

Sabemos que:

[ p -> q <=> ¬p v q ]                 (Prop.I)

[ p -> q  <=> ¬(p ^ ¬q) ]            (Prop.II)

Desenvolvendo a partir do lado direito da Prop II:

p ^ ¬q <=> [Prop. II]

p -> q <=> [Prop. I]

¬p v q

Resposta: Alternativa 5.

Answer 2

Podemos utilizar da tabela verdade para verificar que a alternativa correta é a 5

Veja a tabela verdade montada abaixo:

Podemos verificar nesta tabela que apenas quando P for verdadeiro e Q for falso teremos $P \lor \sim Q$ falso. Do contrário, tudo será verdadeiro.

Na ultima coluna, apenas trocamos os valores verdade da coluna anterior por que se trata da negação

Uma vez que já sabemos o resultado da última coluna, nos resta apenas descobrir outra forma de escrever $\sim(P \lor \sim Q)$.

nós sabemos que ao negar uma expressão da forma $A \lor B$, teremos $\sim A \land \sim B$.

portanto $\sim (P \lor \sim Q)$ será

$\sim P \land \sim\sim Q$

que simplifica (por causa da dupla negação) para

$\sim P \land \sim\sim Q$

$\sim P \land Q$

Podemos agora verificar se o resultado encontrado é válido na tabela verdade

$\begin{matrix}P&Q&P \lor \sim Q &\sim P \land Q\\V&V&V&F\\V&F&V&F\\F&V&F&V\\F&F&V&F\\\end{matrix}$

E vemos que é de fato válido.