Question

a) n²>2n ∀n ∈ N b) n²>2n ∃n ∈ N c) x² > 0 ∀x ∈ R

Answer 1

Resposta:

Avaliemos o valor lógico de cada proposição abaixo.

a) $\left(\forall \:n \in \mathbb{N}\right)\left(n^2 > 2n \right).$

Falso. Existem números naturais (1 e 2) para os quais a sentença aberta $n^2 > 2n$ é falsa.

b) $\left(\exists \:n \in \mathbb{N}\right)\left(n^2 > 2n \right).$

Verdadeiro. De fato, a sentença aberta $n^2 > 2n$ será verdadeira se substituirmos $n$ por qualquer número natural maior que 2.

Demonstração (por princípio da indução finita):

A proposição é verdadeira para $n = 3$, pois $3^2 > 2 \cdot 3$.

Assumamos, por hipótese, que ela é verdadeira para algum $k \in \mathbb{N}$ genérico, $k \geq 3$. Temos:

Hipótese: $k^2 > 2k$.

Desenvolvamos:

$k^2 > 2k = k + k\geq 3 + 3 > 1\\\\ \Longrightarrow k^2 > 1 \Leftrightarrow k^2 + 1 > 2 \Leftrightarrow k^2 + 2k + 1 > 2 + 2k \Leftrightarrow (k+1)^2 > 2(k+1)$

Logo, a proposição será verdadeira para $k+1$ sempre que for verdadeira para $k$.

Assim, ela é verdadeira para todos os números naturais maiores que 2, Q.E.D.

c) $\left(\forall \:x \in \mathbb{R}\right)\left(x^2 > 0 \right).$

Falso. A sentença aberta $x^2 > 0$ é falsa para $x = 0$.