A música é feita de sons, que são ondas sonoras que vibram em uma frequência. As notas musicais principais são dó, ré, mi, fá sol, lá, si, representadas por (C, D, E, F, G, A, B) nesta ordem.
A escala musical com estas sete notas principais e é subdividida em 12 notas com a distância entre duas notas consecutivas igual a 1/2 tom ou 1 semitom, pois entre Mi e Fá e Sí e Dó, não há sustenido/bemol (#, b). Desta forma a escala de semitons pode ser representada das seguintes formas:
Crescente
[C, C#, D, D#, E, F, F#, G, G#, A, A#, B]
Decrescente
[C, Db, D, Eb, E, F, Gb, G, Ab, A, Bb, B]
O lá (A) central tem a frequência de 440 Hz (ou 440 ciclos por segundo).
Para avançar meio tom (para A#) a partir do A (440) é preciso fazer a operação 440*2^(1/12). Para ir para o B (ou seja, avançar dois meios-tons), é preciso, a partir do A (440), fazer 440*2^(2/12).
Monte uma função que retorne qual a frequência de qualquer nota sendo que valores positivos estão acima do A (440) e valores negativos estão abaixo do A (440), e diga qual o nome da nota (considerando a escala de tons e semitons acima, crescente ou decrescente de acordo com sua referência ao A (440)).
Soluções para a tarefa
A função é f(x) = 440 * 2^(x/12) e o nome das notas para -12 ≤ x ≤ 12 estão listadas abaixo.
Uma função de uma variável é uma relação bem definida entre dois conjuntos onde, cada elemento do primeiro conjunto (domínio), tem uma e somente uma correspondência no segundo conjunto (imagem).
Como foi exemplificado, a partir do Lá (440 Hertz) podemos alcançar outras notas (frequências) simplesmente alterando o expoente da expressão dada dependendo do número de meio tons para cima ou para baixo. Ou seja, tem-se uma função que relaciona cada número inteiro x a uma frequência de notas a partir do Lá maior. Matematicamente, seja x ∈ N e f(x) a frequência obtida após x semitons para cima (x > 0) ou para baixo (x < 0). Logo,
f(x) = 440 * 2^(x/12)
Desta forma:
f(-12) = 440 * 2^(-12/12) = 220 Hz (Lá)
f(-11) = 440 * 2^(-11/12) = 233,082 Hz (Si bemol)
f(-10) = 440 * 2^(-10/12) = 246,942 Hz (Si)
f(-9) = 440 * 2^(-9/12) = 261,626 Hz (Dó)
f(-8) = 440 * 2^(-8/12) = 277,183 Hz (Ré bemol)
f(-7) = 440 * 2^(-7/12) = 293,665 Hz (Ré)
f(-6) = 440 * 2^(-6/12) = 311,127 Hz (Mi bemol)
f(-5) = 440 * 2^(-5/12) = 329,628 Hz (Mi)
f(-4) = 440 * 2^(-4/12) = 349,228 Hz (Fá)
f(-3) = 440 * 2^(-3/12) = 369,994 Hz (Sol bemol)
f(-2) = 440 * 2^(-2/12) = 391,955 Hz (Sol)
f(-1) = 440 * 2^(-1/12) = 415,305 Hz (Lá bemol)
f(0) = 440 * 2^(0/12) = 440 Hz (Lá)
f(1) = 440 * 2^(1/12) = 466,164 Hz (Lá#)
f(2) = 440 * 2^(2/12) = 493,883 Hz (Si)
f(3) = 440 * 2^(3/12) = 523,251 Hz (Dó)
f(4) = 440 * 2^(4/12) = 554,365 Hz (Dó#)
f(5) = 440 * 2^(5/12) = 587,33 Hz (Ré)
f(6) = 440 * 2^(6/12) = 622,254 Hz (Ré#)
f(7) = 440 * 2^(7/12) = 659,255 Hz (Mi)
f(8) = 440 * 2^(8/12) = 698,456 Hz (Fá)
f(9) = 440 * 2^(9/12) = 739,989 Hz (Fá#)
f(10) = 440 * 2^(10/12) = 783,991 Hz (Sol)
f(11) = 440 * 2^(11/12) = 830,609 Hz (Sol#)
f(12) = 440 * 2^(12/12) = 880 Hz (Lá)
Até mais!