Question

a) Mostre, usando o princípio de indução finita, que para todo "n", com "n" pertencente ao conjunto dos números naturais:

Answer 1

Resposta: A partir de dois dados dados pelo problema e dos devidos cálculos que vamos realizar, podemos mostrar que a fórmula da soma dos quadrados dos n primeiros números naturais é verdadeira ∀ n ∈ N, ou é verdadeira para todos os n inteiros não negativos.

Queremos provar que a fórmula da soma de dois quadrados dois n primeiros números naturais é verdadeira para qualquer número que pertença ao conjunto de dois naturais, para realizar esta prova devemos usar o método de indução finita.

Para provar esta fórmula pelo princípio da indução matemática devemos levar em conta nosso primeiro passo isso é encontrar uma base de indução. Veremos que a preposição é cumprida para um valor específico de n, neste caso vamos assumir o menor valor que n pode ter e esse menor valor é 1 então vamos mostrar que a fórmula para n = 1 é cumprida.

$1^2=\dfrac{1\cdot(1+1)\cdot(2\cdot1+1)}{6}\\\\ 1=\dfrac{2\cdot3}{6}\\\\{ 1=1}$

Vemos que nossa base indutiva está cumprida, então o que segue é nossa hipótese indutiva, para isso vamos supor que nossa fórmula está cumprida para n = k com k ∈ N.

$\red{1^2+2^2+3^2+\dots+k^2=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}}$

Assumindo que esta fórmula é verdadeira para um valor natural de k, então também deve ser verdadeira para n = k+1, o que devemos provar é que a igualdade vale para n = k+1, ou seja, devemos verificar que:

$1^2+2^2+3^2+\dots+(k+1)^2=\dfrac{(k+1)(k+1+1)(2(k+1)+1)}{6}\\\\ 1^2+2^2+3^2+\dots+(k+1)^2=\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+2+1)}{6} \\\\ 1^2+2^2+3^2+\dots+(k+1)^2=\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\\\\1^2+2^2+3^2+\dots+(k+1)^2=\dfrac{(k^2+3k+2)(2k+3)}{6}$

Vamos ter que provar essa igualdade, aparentemente a prova dessa igualdade seria impossível a menos que usemos nossa hipótese de indução, podemos usar nossa hipótese de indução em algum momento mais preciso para isso primeiro observamos que (k + 1) que é na frente de toda a soma, deve haver um termo antes de k+1 e que seja menor que k+1, e como vamos encontrar esse termo anterior? Simples, vamos observar que na primeira parte da soma 1 é um termo antes de 2 já que 2-1=1, então um termo antes de k+1 é k.

$1^2+2^2+3^2+\dots+k^2+(k+1)^2=\dfrac{(k^2+3k+2)(2k+3)}{6}$

Por hipótese de indução já sabemos a que é igual a soma dos quadrados dos n primeiros números naturais, então o que faremos é substituir o valor dessa soma em nossa expressão para obter:

$1^2+2^2+3^2+\dots+k^2+(k+1)^2=\dfrac{(k^2+3k+2)(2k+3)}{6}\\\\ \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2=\dfrac{(k^2+3k+2)(2k+3)}{6}$

Vamos ter alguma ferramenta matemática para poder simplificar esta expressão e voltar às idênticas, primeiro vamos aplicar a fórmula binômio ao quadrado, binômio quadrado é igual é igual ao quadrado do primeiro termo , mais o duplo produto do primeiro pelo segundo mais o segundo quadrado. Aplicando binômio ao quadrado na primeira parte da igualdade obteremos:

$\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k^2+2k+1^2)=\dfrac{(k^2+3k+2)(2k+3)}{6}\\\\\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k^2+2k+1)=\dfrac{(k^2+3k+2)(2k+3)}{6} \\\\ \dfrac{k(2k^2+3k+1)+6(k^2+2k+1)}{6}=\dfrac{(k^2+3k+2)(2k+3)}{6} \\\\ \dfrac{2k^3+3k^2+k+6k^2+12k+6}{6}=\dfrac{(k^2+3k+2)(2k+3)}{6}\\\\ \dfrac{2k^3+9k^2+13k+6}{6}=\dfrac{(k^2+3k+2)(2k+3)}{6}\\\\\dfrac{2k^3+9k^2+13k+6}{6}=\dfrac{2k^3+3k^2+6k^2+9k+4k+6}{6}$

Expandindo nossa expressão devemos obter como resultado:

$\red{\boxed{\therefore\underline{\dfrac{2k^3+9k^2+13k+6}{6}=\dfrac{2k^3+9k^2+13k+6}{6}}}}$

Ambas as partes são iguais, razão pela qual se mostra que a fórmula é verdadeira para k+1, por indução finita se fosse verdadeira para n= k+1 será verdadeira para qualquer outro valor natural de n.