Question

a) Mostre que a função f(x) = x³ + x - 1 tem pelo menos uma raiz no intervalo [0, 1] b)Mostre que a função f(x) = x³ + 3x - 5 tem pelo menos uma raiz no intervalo [1, 2] c)Mostre que a função f(x) = 1 + x cos(π x/2) tem pelo menos uma raiz no intervalo [1/2, 3/2]

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Vamos lá, primeiro de tudo, precisamos lembrar uma coisa:

Teorema do Valor Intermediário:

Suponha que f  é uma função contínua no  intervalo [a, b]. Se c é um valor entre f(a) e f(b), então existe pelo menos um  $x_0$ ∈ [a, b] tal que $f(x_0) = c$.

Em particular:

Se f  é uma função contínua no  intervalo [a, b]. Se 0 é um valor entre f(a) e f(b), então existe pelo menos um  $x_0$ ∈ [a, b] tal que $f(x_0) = 0$. ($x_0$ é raiz de f).

Agora vamos as questões:

a) f é contínua (pois é uma função polinomial) no intervalo [0,1].

$f(0)=-1\\f(1)=1$

Assim, 0 está entre f(0) e f(1), logo existe ao menos um valor $x_0$ em [0,1] tal que $f(x_0) = 0$ ($x_0$ é raiz de f).

b) f é contínua (pois é uma função polinomial) no intervalo [1,2].

$f(1)=-1\\f(2)=9$

Assim, 0 está entre f(1) e f(2), logo existe ao menos um valor $x_0$ em [1,2] tal que $f(x_0) = 0$ ($x_0$ é raiz de f).

c) f é contínua (pois é uma função polinomial com função trigonométrica) no intervalo [1/2,3/2].

$f(\frac{1}{2} )=1+\frac{\sqrt{2}}{4} > 0 \\f(\frac{3}{2} )=1-\frac{3\sqrt{2}}{4} <0$

Assim, 0 está entre f(1/2) e f(3/2), logo existe ao menos um valor $x_0$ em [1/2,3/2], tal que $f(x_0) = 0$ ($x_0$ é raiz de f).