Question

A menor solução positiva da equação

sen 9x + sen 5x + 2 sen2

x = 1 é:

a)π/4
b)3π/84
c)π/42
d)π/84
e)π/294​

Answer 1

Inicialmente, venho dizer que nesta resolução faremos uso de todas as informações — identidades e soluções gerais de equações trigonométricas fundamentais genéricas — presentes na imagem anexa. Tais resultados estão indicados por (i), (ii), (iii) e (iv), sendo todos eles verdadeiros para quaisquer α e β reais. O exercício solicita a expressão correspondente à menor solução positiva da seguinte equação trigonométrica:

$\mathsf{sen\big(9x\big)\!+sen\big(5x\big)\!+2\,sen^{2}\big(x\big)\!=1}$

Sendo assim, vamos à sua resolução:

$\mathsf{\qquad\quad\ \ sen\big(9x\big)\!+sen\big(5x\big)\!+2\,sen^{2}\big(x\big)\!=1}\\\\ \mathsf{\iff\quad \underbrace{\mathsf{sen\big(9x\big)\!+sen\big(5x\big)}}_{Aplique\>(i)}=\underbrace{\mathsf{1-2\,sen^{2}\big(x\big)}}_{Aplique\>(iv)}}$

Utilizando as identidades trigonométricas (i) e (iv) (em anexo), a equação acima torna-se equivalente a:

$\mathsf{\qquad\quad \ \ 2\,sen\!\left(\dfrac{9x+5x}{2}\right)\!cos\!\left(\dfrac{9x-5x}{2}\right)\!=cos\big(2x\big)}\\\\\\ \mathsf{\iff\quad 2\,sen\!\left(\dfrac{14x}{2}\right)\!cos\!\left(\dfrac{4x}{2}\right)\!=cos\big(2x\big)}\\\\\\ \mathsf{\iff\quad 2\,sen\big(7x\big)cos\big(2x\big)=cos\big(2x\big)}\\\\\\ \mathsf{\iff\quad 2\,sen\big(7x\big)cos\big(2x\big)-cos\big(2x\big)\!=0}\\\\\\ \mathsf{\iff\quad cos\big(2x\big)\!\big[2\,sen\big(7x\big)\!-1\big]\!=0}$

$\iff\quad\begin{cases}\mathsf{cos\big(2x\big)\!=0\qquad\ (v)}\\ \\ \mathsf{ou}\\ \\ \mathsf{2\,sen\big(7x\big)\!-1=0\qquad (vi)}\end{cases}$

Partindo da equação (v) (primeira possibilidade), obtém-se:

$\mathsf{\qquad\quad \ \ cos\big(2x\big)\!=0}\\\\ \mathsf{\iff\quad cos\big(2x\big)\!=cos\bigg(\dfrac{\pi}{2}\bigg)}$

$\iff\quad \begin{cases}\mathsf{2x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}}\\\\ \mathsf{ou}\\\\ \mathsf{2x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}}\end{cases}$

$\iff\quad\begin{cases}\mathsf{x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}\quad\checkmark}\\\\ \mathsf{ou}\\\\ \mathsf{x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}\quad\checkmark}\end{cases}$

Por último, partindo da equação (vi) (segunda possibilidade), ficaremos com:

$\mathsf{\qquad\quad\ \ 2\,sen\big(7x\big)\!-1=0}\\\\ \mathsf{\iff\quad 2\,sen\big(7x\big)\!=1}\\\\ \mathsf{\iff\quad sen\big(7x\big)\!=\dfrac{1}{2}}\\\\ \mathsf{\iff\quad sen\big(7x\big)\!=sen\bigg(\dfrac{\pi}{6}\bigg)}$

$\iff\quad\begin{cases}\mathsf{7x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}}\\\\ \mathsf{ou}\\\\ \mathsf{7x=\pi-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}}\end{cases}$

$\iff\quad\begin{cases}\mathsf{x=\dfrac{\pi}{42}+\dfrac{2k\pi}{7}\,,\,k\,\in\,\mathbb{Z}\quad\checkmark}\\\\ \mathsf{ou}\\\\ \mathsf{x=\dfrac{5\pi}{42}+\dfrac{2k\pi}{7}\,,\,k\,\in\,\mathbb{Z}\quad\checkmark}\end{cases}$

Baseado em todas as soluções (marcadas com o símbolo ✓) para a equação trigonométrica inicial (localizada no início desta resolução), conclui-se então que sua menor solução positiva é π/42, ou seja:

$\boxed{\boxed{\mathsf{Menor\ solu\,\c\,\!\!c\~ao\ positiva=\dfrac{\pi}{42}}}}$

• Item correto: c).

Julia, um grande abraço!