Question

A menor distância entre um ponto e uma circunferência é de 9 cm. O segmento que sai deste ponto e é tangente a esta circunferência mede 18 cm. Determine, em cm, o raio desta circunferência.

Answer 1

Olha, pode ser que eu esteja enganado, mas...

Imagine um ponto P fora da circunferência, esse segmento que sai do ponto P e é tangente (toca em apenas um ponto) à circunferência, será tangente no ponto A.

Sendo B o centro da circunferência, o segmento $\overline{AB}$ é exatamente o raio e além disso é perpendicular (forma um ângulo de 90° com o segmento $\overline{AP}$.

O ponto da circunferência onde a distância é mínima ao ponto P, está localizado no mesmo segmento que liga o centro da circunferência ao ponto P, isto é, no segmento $\overline{BP}$.

Sabendo disso, podemos formar um triângulo retângulo, como visto na figura que coloquei em anexo.

Neste triângulo retângulo, os catetos seria o raio da circunferência, $r$ e o segmento $\overline{AP}$, que mede 18 cm. A hipotenusa seria a soma do raio com a menor distância entre circunferência e ponto P (que eu deixei em vermelho), que mede 9 cm. O hipotenusa vale  $r + 9$.

Como é um triângulo retângulo, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras:

$h^2 = c_1^2 + c_2^2$

Ou seja, a hipotenusa ao quadrado é a soma dos catetos ao quadrado. Então:

$(r+9)^2 = r^2 + 18^2$

Resolvendo:

$r^2 + 18 \cdot r + 81 = r^2 + 324$

$18 \cdot r = 324 - 81$

$r = \dfrac{243}{18}$

$\boxed{r = 13,5 \text{ cm}}$