Question

A melhor representação gráfica da função real definida pela sentença f(x) = |x^2 - 1| - (x^2 - 1) é?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Wandson, que temos a seguinte expressão e é pedida a melhor representação gráfica da função real definida pela seguinte expressão:

f(x) = |x² - 1| - (x² - 1)

Vamos para as condições de existência de funções modulares, ou seja, vamos nos preocupar apenas com |x² - 1|

i) Para (x² - 1) ≥ 0, teremos:

Agora vamos na expressão dada, que é esta:

f(x) = |x² - 1| - (x² - 1) ----- considerando (x²-1) ≥ 0, teremos:

f(x) = x² - 1 - (x² - 1) ---- retirando-se os parênteses, teremos:
f(x) = x²-1 - x²+1 ---- reduzindo os termos semelhantes:
f(x) = 0 --- ou seja, para (x²-1) ≥ 0 não iríamos ter nada.

ii) Para (x²-1) < 0, iremos ter isto:

 f(x) = - (x²-1) - (x²-1) --- retirando-se os parênteses, teremos:
f(x) = - x²+1 - x²+1 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos;
f(x) = - 2x² + 2

Vamos encontrar quais são as raízes dessa equação. Para isso, igualaremos f(x) a zero. Logo:

- 2x² + 2 = 0

- 2x² = - 2 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos;
2x² = 2
x² = 2/2
x² = 1
x = +-√(1) ----- como √(1) = 1, teremos:
x = +-1 --- daqui você conclui que:

x' = - 1
x'' = 1

iii) Note que como a função é modular, então ela não ultrapassará a parte inferior do eixo dos "x" ; e como a função é do 2º grau,  o gráfico será uma parábola, com um ponto de máximo (pois o termo "a" é negativo. O termo "a" é o coeficiente de x²), cujo máximo será dado pelo "y" do vértice (yv), que estará no ponto:
P(xv; yv) ---> P(0; 2). Indo o seu gráfico até o eixo dos "x", não o ultrapassando, ou seja o gráfico vai até às duas raízes da equação, que são x' = -1 e x'' = 1.
Note ainda que: o conjunto-imagem será: 0 ≤ f(x) ≤ 2.

Como aqui no Brainly eu não sei como construir gráficos, então veja o gráfico no endereço abaixo e constate tudo o que se disse sobre esta função. Veja lá.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)+%3D+%7Cx%5E2+-+1%7C+-+(x%5E2+-+1)

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.