Question

A meia-vida de um isótopo radioativo é o tempo necessário para que a massa desse isótopo se reduza à metade. A função que descreve o comportamento da
massa Q(t) (em gramas) de um tal isótopo em funcão do tempo t (em anos) é a função de tipo exponencial:
Q(t) = A ・ e−kt,

onde A e k são constantes reais.Um isótopo radioativo tem meia-vida de 35,2 anos. Quantos anos levaria para que uma quantidade inicial de 1 grama decaia para 0,01 grama? (Use que ln(1/2) ≈−0, 6931 e que ln(0, 01) ≈ −4, 6052.)

Answer 1

A equação dada é:
Q(t)=A.exp(-k.t)

Onde, em um decaimento radioativo, o A é a massa inicial, Q é a massa em determinado tempo t, e o k é a constante de decaimento que pode ser calculada tendo o tempo de meia vida(tm):
k=ln(2)/tm

Substituindo os valores de massa na equação:
Q(t)=A.exp(-k.t)
0,01=1.exp(-kt)
0,01=exp(-kt)
Aplicando logaritmo dos dois lados:
ln(0,01)=-k.t
Substituindo o k:
ln(0,01)=-t.ln(2)/tm

Usando a propriedade de logaritmo:
ln A = -ln(1/A)

Temos:
ln(0,01)=+t.ln(1/2)/tm
Substituindo os valores:
-4,6052=t.(-0,6931)/35,2
t=35,2(-4,6052)/(-0,6931)
t=233,88 anos

Espero ter ajudado =)