Question

A meia-vida de um elemento radioativo recém-descoberto é de 30 segundos. Com aproximação de um décimo de segundo, quanto tempo levará para uma amostra de 9 gramas decair para 0,72 gramas

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Answer 1

Levará cerca de 109,3 segundos para que nove gramas do elemento para decair para 0,72 gramas.

Podemos escrever uma função de meia-vida para modelar nossa função.

Uma função de meia-vida tem o formulário:

$\displaystyle A=A_0\left(\frac{1}{2}\right)^{t/d}$

Onde A₀ é o valor inicial, T é o tempo que tem passa (neste caso, segundos), D é a meia-vida, e a é a quantia após os segundos.

Como a meia-vida do elemento é de 30 segundos, d = 30. Nossa amostra inicial tem nove gramas, então A₀ é 9. Substituto:

$\displaystyle A=9\left(\frac{1}{2}\right)^{t/30}$

Queremos encontrar o tempo que levará para o elemento diminuir para 0,72 gramas. Então, podemos deixar A = 0,72 e resolver para t:

$\displaystyle 0.72=9\left(\frac{1}{2}\right)^{t/30}$

Divida ambos os lados por 9:

$\displaystyle 0.08=\left(\frac{1}{2}\right)^{t/30}$

Podemos pegar o log natural de ambos os lados:

$\displaystyle (0.08)=\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{t/30}\right)$

Por propriedades de logaritmo:

$\displaystyle (0.08)=\frac{t}{30}\ em \ (0.5)$

Resolva para t:

$\displaystyle t=\frac{30 \ em \ (0.08)}{(0.5)}\approx109.3\ segundos$

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