Question

A medida, em cm, do raio da circunferência abaixo é 8cm maior que DC e 1cm maior que DB. Calcule a medida da corda AB.​

Answer 1

Resposta:

$AB=\left[\begin{array}{c}{AB=2 \cdot (12)\rightarrow AB=24}\\{AB=2 \cdot (4)\rightarrow AB=8}\end{array}$

Explicação passo-a-passo:

Sabemos que:

• DC+8=R
• DB+1=R

De acordo com a figura, o ângulo BDC é de 90°, logo a distância do ponto D a B ou de D a A é igual a metade do comprimento total da corda AB. Ou seja, DB é igual a $\frac{AB}{2}$.

Olhando a figura, percebemos que CBD forma um triângulo retângulo, logo sabemos que:

$(BC)^2=(DB)^2+(DC)^2$

e $BC=R$.

Organizando o que o enunciado nos deu, temos:

$DC+8=R \rightarrow DC=R-8$

$DB+1=R \rightarrow DB=R-1$

Juntando tudo:

$(BC)^2=(DB)^2+(DC)^2 \rightarrow (R)^2=(R-1)^2+(R-8)^2 \rightarrow$

$\rightarrow (R)^2=(R^2-2 \cdot R+1)+(R^2+2 \cdot R \cdot (-8)+64)\rightarrow$

$\rightarrow (R)^2=(R^2-2R+1)+(R^2-16R+64)\rightarrow$

$\rightarrow (R)^2=(2 \cdot R^2-18R+65)\rightarrow (R)^2-2 \cdot R^2 +18R-65=0 \rightarrow$

$\rightarrow - R^2 +18R-65=0\rightarrow R^2 -18R+65=0$

Por Bháskara, temos:

$R=\frac{-(-18) \pm\sqrt{(-18)^2-4 \cdot 1 \cdot 65}}{2 \cdot 1} \rightarrow R=\frac{18 \pm\sqrt{324-260}}{2} \rightarrow R=\frac{18 \pm\sqrt{64}}{2} \rightarrow$

$\rightarrow R=\frac{18 \pm8}{2} \rightarrow R=\left[\begin{array}{c}{R=\frac{18 +8}{2} \rightarrow R=13}\\{R=\frac{18-8}{2}\rightarrow R=5}\end{array}$

Agora, considerando que $DB+1=R$ e $DB=\frac{AB}{2}$, temos:

$AB=2 \cdot DB$

e

$DB=R-1$

Logo:

$AB=2 \cdot (R-1)$

Continuando:

$AB=2 \cdot (R-1)\rightarrow AB=\left[\begin{array}{c}{AB=2 \cdot (R-1) \rightarrow AB=2 \cdot (13-1)}\\{AB=2 \cdot (R-1) \rightarrow AB=2 \cdot (5-1)}\end{array} \rightarrow$

$\rightarrow AB=\left[\begin{array}{c}{AB=2 \cdot (12)\rightarrow AB=24}\\{AB=2 \cdot (4)\rightarrow AB=8}\end{array}$

Ou seja, a corda pode ter dois comprimento que dependem do raio.

Esta é a maneira "na marra" de se fazer.