Question

A medida do raio de uma circunferência cuja equação geral é x²+y²-6x-10y+30=0, é a medida do lado de um triângulo eqüilátero. Então podemos afirmar que a área desse triângulo é:
a)√3
b)3 √3
4
c) 3 √2
4
d) √3
2

Answer 1

Olá!

Vamos tentar colocar a equação dada na forma $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2,$  onde $(x_0,y_0)$  é o centro da circunferência e $r$  é o seu raio. 

Para isso, completemos quadrados em x e em y:


$x^2 + y^2 -6x - 10y+30 = 0\Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow (x^2 -2\;\cdot \; 3x + 9) + (y^2-2\;\cdot \;5y+25) -4 = 0\Rightarrow \\ \\ \\ \Righarrow (x-3)^2 + (y-5)^2 = 4.$

Logo, o raio é $r = \sqrt{4} = 2.$

Agora, a área de um triângulo equilátero também é dada por

$A = \dfrac{l^2\sqrt{3}}{4},$

onde $l$   é a medida do lado do triângulo.

Portanto, 

$A = \dfrac{l^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{2^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}.$



Resposta: (A).