Question

A medida do lado de um triângulo equilátero é 20 cm. Unindo-se os pontos médios de seus lados obtém-se um segundo triângulo. Unindo-se os pontos médios desse novo triângulo equilátero, obtém-se um terceiro triângulo e assim por diante, indefinidamente. Calcule a soma dos perímetros de todos esses triângulos.

Observação no gabarito tá constando 120 mais no software gealgebra isso não é reafirmado segue a foto em anexo do software

Answer 1

Unindo-se os pontos médios de um triangulo equilátero, dividimos este triangulo em 4 triângulos equiláteros com medida do lado igual a metade da medida do lado do triangulo inicial.

Neste problema estamos interessados apenas nos triângulos cujos vértices são os pontos médios do anterior, assim como mostrado na figura.

Vamos então calcular os perímetros de algum desses triângulos:

$Perimetro_{inicial}~=~3~.~20~=~\boxed{60cm}\\\\\\Perimetro_{\Delta_2}~=~3~.~10~=~\boxed{30cm}\\\\\\Perimetro_{\Delta_3}~=~3~.~5~=~\boxed{15cm}$

Poderíamos continuar calculando os perímetros indefinidamente, no entanto note que cada novo perímetro calculado é sempre igual a metade do anterior, ou seja, o que estamos vendo aqui é uma PG de razão 1/2.

Essa PG, como a própria questão deixa claro, é infinita e, sendo assim, para determinar a soma dos termos vamos utilizar a equação:

$S_\infty~=~\dfrac{a_1}{1-q}$

O termo a₁ é o perímetro do triangulo inicial, ou seja, 60cm e a razão (q) vale 1/2, como já foi visto, logo:

$S_\infty~=~\dfrac{60}{1-\frac{1}{2}}\\\\\\S_\infty~=~\dfrac{60}{\frac{1}{2}}\\\\\\S_\infty~=~60~.~2\\\\\\\boxed{S_\infty~=~120\,cm}$