Question

A medida do lado AB do triângulo representado abaixo é
a) 12 V6 cm
b) 12 V3 cm
c) 8 V6 cm
d) 8 V3 cm
e) 4 V6 cm

Answer 1

$\large\boxed{\begin{array}{l}\underline{\sf Pela\,lei\,dos\,senos\!:}\\\\\rm\dfrac{AB}{ sen(45^\circ)}=\dfrac{BC}{sen(120^\circ)}\\\\\rm AB\cdot sen(120^\circ)=BC\cdot sen(45^\circ)\\\rm AB\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\backslash\!\!\!2}=12\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\backslash\!\!\!2}\\\\\rm AB\sqrt{3}=12\sqrt{2}\\\\\rm AB=\dfrac{12\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\\\\rm AB=\dfrac{12\sqrt{6}}{3}\\\\\rm AB=4\sqrt{6}\,cm\longrightarrow alternativa\,e\checkmark\end{array}}$

Answer 2

Com os cálculos realizado chegamos a conclusão que o segmento AB mede: $\large \boldsymbol{ \textstyle \sf AB = 4 \sqrt{6} \: m }$.

A Lei dos Senos determina que num triângulo qualquer, a relação do seno de um ângulo é sempre proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo inscrito em uma circunferência de raio r. ( Vide a  figura em anexo ).

Fórmula que representa a lei dos senos:

$\large\boldsymbol{ \displaystyle \sf \dfrac{a}{\text{sen }\alpha} = \dfrac{b}{\text{sen }\beta} = \dfrac{c}{\text{sen }\gamma} = 2r }$

Analisando a figura do enunciado e aplicando a lei do seno, temos:

$\large \displaystyle \sf \text { \sf \dfrac{a}{\text{sen }\alpha} = \dfrac{b}{\text{sen }\beta} = \dfrac{c}{\text{sen }\gamma} }$

$\large \displaystyle \sf \text { \sf \dfrac{BC}{\text{sen } 120^\circ} = \dfrac{AB}{\text{sen } 45^\circ} }$

$\large \displaystyle \sf \text { \sf \dfrac{12}{\dfrac{\sqrt{3} }{2} } = \dfrac{AB}{\dfrac{\sqrt{3} }{2} } }$

$\large \displaystyle \sf \text { \sf \dfrac{12}{1} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{3} } = \dfrac{AB}{1} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{2} } }$

$\large \displaystyle \sf \text { \sf \dfrac{24}{\sqrt{3} } = \dfrac{2AB}{\sqrt{2} } }$

$\large \displaystyle \sf \sf 2AB \sqrt{3} = 24\sqrt{2}$

$\large \displaystyle \sf \text { \sf AB = \dfrac{24\sqrt{2} }{2\sqrt{3} } }$

Racionalizando o segundo membro, teremos:

$\large \displaystyle \sf \text { \sf AB = \dfrac{12\sqrt{2} }{\sqrt{3} } \cdot \dfrac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} } }$

$\large \displaystyle \sf \text { \sf AB = \dfrac{12\sqrt{6} }{\sqrt{9} } }$

$\large \displaystyle \sf \text { \sf AB = \dfrac{12\sqrt{6} }{3 } }$

$\large \boxed{ \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf AB = 4\sqrt{6} \: m }} }$

$\large \displaystyle \sf \sf$

Alternativa correta é letra E.

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