Question

A medida do apótema de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio 10 cm é:
5 cm
10 cm
12 cm
16 cm​

Answer 1

Resposta:

5cm

Explicação passo-a-passo:

Apotema é a distancia entre a origem e um dos lados do poligono regular inscrito na circunferencia.

No caso do triangulo equilatero inscrito na circunferencia, posso provar que o apotama A = 1/3h ⇒ h = 3A

e olhando a figura é facil perceber que h = R+A, entao 3A = R+A

R = 2A

A = R/2

como R = 10, A= 5cm

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Por que A = 1/3h

Observe o triangulo que tem os lados:

R+A(H); L/2 ; L

e o triangulo de lados

A; L/2; R (pequenino)

Sao triangulos semelhantes logo, podemos usar o metodo da proporcionalidades dos lados

$\frac{L/2}{A} = \frac{H}{L/2}\\\\A = \frac{L^{2}}{4H}$

Em um triangulo equilateros, os angulos sao todos iguais a 60º, entao popdemos dizer que:

$sen 60 = H/L\\\\\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{H}{L} \\\\L = \frac{2H}{\sqrt{3}} \\\\L = \frac{2\sqrt{3} H}{3}$

subistituindo L na equacao acima, temos

$A = \frac{{(\frac{2\sqrt{3}H}{3})}^{2}}{4H} \\\\A = \frac{4.3.H^{2}}{3^{2}.4.H} \\\\A = \frac{H}{3}$