Question

A medida do apótema de um hexágono regular cujo lado mede 300√3 cm corresponde a:
A)200√3 cm
B)100 cm
C)150 cm
D)450 cm
E)150√3 cm

Answer 1

Veja imagem abaixo, o apótema de um polígono regular é o segmento indo do centro da figura ao centro de algum lado.

Podemos transformar esse hexágono em um triângulo, como na figura 2. Como o polígono é regular, então, cada um de seus seis ângulos centrais é igual a 360°/6 = 60°.

Se o lado vale $300\sqrt{3}$, até a metade vale $150\sqrt{3}$.

Temos então um triângulo retângulo onde temos um ângulo, o valor do cateto adjacente e queremos saber o cateto oposto. Para isso, vamos usar a tangente:

$tg(60^o) = \frac{x}{150\sqrt{3}}$

Não sei a tg de 60, mas sei que é sen 60 / cos 60, logo:

$tg(60^o) = \frac{sen(60^o)}{cos(60^o}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}\\\\tg(60^o) = \sqrt{3}$

Assim:

$x = 150\sqrt{3}*\sqrt{3} = 150*3 = 450 cm$

Se você é do tipo que gosta de fórmulas prontas, tem essa:

$apotema = \frac{lado}{2*tan(\frac{\pi}{lados})}$

$a = \frac{300\sqrt{3}}{2*tg(\frac{\pi}{6})} = 150*\frac{\sqrt{3}}{tg(30^o)}}$

Dá no mesmo.