Question

A medida do ângulo interno de um polígono regular de 170 diagonais é igual a:

(A)162º
(B)80º
(C)170º
(D)125º
(E) 81º

Answer 1

Primeiramente descobrimos quantos lados possui o polígono:

$d=\dfrac{n(n-3)}{2}\Longrightarrow170=\dfrac{n(n-3)}{2}\Longrightarrow n^2-3n=340\Longrightarrow n^2-3n-340=0\\\\ \Delta=b^2-4\cdot a\cdot c\\ \Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-340)\\ \Delta=9+1360\\ \Delta=1369\\\\ n=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3\pm\sqrt{1369}}{2\cdot1}=\dfrac{3\pm37}{2}\Longrightarrow\begin{cases}n_1=\frac{40}{2}=20\\n_2=\frac{-34}{2}=-17\end{cases}$

Como a quantidade de lados de um polígono não pode ser negativa, concluímos que este polígono possui 20 lados. Agora podemos calcular o ângulo interno deste polígono (que chamaremos de alfa):

$\alpha=\dfrac{180(n-2)}{n}=\dfrac{180(20-2)}{20}=9\cdot18=162^{\circ}\\\\ \alpha=162^{\circ}\Longrightarrow Letra\;A$