Question

A medida da diagonal (d) de um quadrado é dada em função da medida do seu lado (l). Qual é a fórmula matemática que indica essa função ?​

Answer 1

Bom , podemos usar a fórmula de pitágoras ( c^2 = a^2 + b^2)

aonde C = hipotenusa ( o lado oposto ao ângulo reto de um triângulo , que no quadrado será sua própria diagonal , pois o divide em dois triângulos exatamente iguais)

E o a e o b são os outros dois lados do triângulo , que chamamos de catetos , que são adjacentes ao ângulo

No caso do quadrado , ao dividirmos ele em dois triângulos através de uma diagonal , veremos que esses cateto terão exatamente a mesma medida , já que se trata de um quadrado ( todos os lados iguais) , então a e b chamaremos de L .

Então conclui-se que essa relação entre os lados de um quadrado e sua hipotenusa se da por :

2L^2 = d^2

Sendo L = lado e d = diagonal

Answer 2

Imagine um quadrado ABCD cujo lado é igual a l, ou seja, as distâncias AB, BC, CD e DA são todas iguais a l:

$\overline{AB} = \overline{BC} =\overline{CD}=\overline{DA} =l$

Como característica do quadrado, todos os seus ângulos internos são iguais a 90°. Agora imagine que tracemos um segmento de reta que liga dois pontos contrários, por exemplo, AC. A medida de AC será igual a medida da diagonal do quadrado uma vez que AC é uma das diagonais.

Ao traçarmos AC percebemos que cortamos o ângulo BÂC em outros dois (ainda não sabemos que são iguais) que chamaremos de α e β.

Imagine que AC é um corte. Com esse corte separemos o quadrado ABCD em dois triângulos ABC e ACD. Perceba que ainda mantemos um ângulo reto em cada um dos triângulos, portanto, ambos os triângulos são triângulos retângulos. Sabendo disso podemos utilizar de pitagoras.

Usaremos o triângulo ABC. Perceba que AB e BC ainda são os lados do retângulo, e têm medida l, e AC é a hipotenusa do triângulo retângulo e é o valor que buscamos. Montando pitagoras:

$\overline{AB} \:^2+\overline{BC} \:^2 = \overline{AC} \:^2$

$l^2+l^2 = \overline{AC} \:^2$

$2l^2 = \overline{AC} \:^2$

Aplicando raiz quadrada em ambos os lados da equação:

$l\sqrt{2} = \overline{AC}$

Uma vez definida que AC é uma das diagonais, então o valor de AC é igual a d, ou seja:

$d = l\sqrt{2}$

Transformando numa função em que d está definido para todo o l real positivo:

$d: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+ \: ,\:d(l) = l\sqrt{2}$