Question

a medida da altura relativa À hipotenusa de um triângulo retângulo é 12 cm e uma das projeções mede 9 cm. A soma dos catetos desse triângulo vale:

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Torinhas, que a resolução envolve conhecimento sobre relações métricas no triângulo retângulo.
Pede-se a soma das medidas dos catetos de um triângulo retângulo, sabendo´se que:

- A altura "h" relativa à hipotenusa, mede 12 cm
- A projeção de um dos catetos sobre a hipotenusa mede 9 cm.

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Note que num triângulo retângulo de hipotenusa igual a "a", de catetos iguais a "b" e "c", de altura igual a "h" e de projeções dos catetos sobre a hipotenusa de "m" e de "n", há, dentre as relações métricas de um triângulo retângulo, as seguintes relações principais:

a² = b² + c²       . (I)
a = m + n         . (II)
ah = b*c          . (III)
h² = m*n          . (IV)
b² = a*m          .(V)
c² = a*n           . (VI)

ii) Agora vamos utilizar, dentre as relações principais vistas aí em cima, aquelas que sejam mais adequadas para resolver a sua questão.
Na sua questão está dada a medida da altura "h" (que mede 12 cm) e está dada a medida de uma das projeções (que vamos considerar que seja a projeção "m"), que mede 9 cm.
Note que as relações mais adequadas para resolver a sua questão são as
relações (II),  (IV), (V) e (VI).

iii) Pela relação (IV), temos que:

h² = m*n ---- substituindo-se "h" por "12" e "m" por "9", teremos:
12² = 9*n
144 = 9n --- vamos apenas inverter, ficando:
9n = 144
n = 144/9
n = 16 cm <--- Esta é a medida da projeção "n".

iv) Agora vamos aplicar a relação (II), que é esta:

a = m + n ---- substituindo-se "m" por "9" e "n" por "16", teremos:
a = 9 + 16
a = 25 cm <--- Esta é a medida da hipotenusa "a".

v) Agora aplicaremos a relação (V), que é esta:

b² = a*m ---- substituindo-se "a" por "25" e "m" por "9", teremos:
b² = 25*9
b² = 225
b = ± √(225) ---- como √(225) = 15, teremos:
b = ± 15 --- como a medida da projeção não é negativa, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

b = 15 cm <--- Esta é a medida do cateto "b".

v) Finalmente, vamos aplicar a relação (VI), que é esta:

c² = a*n ---- substituindo-se "a' por "25" e "n" por "16", teremos:
c² = 25*16
c² = 400
c = ± √(400) ----- como √(400) = 20, teremos:
c = ± 20 ---- como a medida do cateto não é negativa, então tomaremos apenas a medida positiva e igual a:

c = 20 cm <--- Esta é a medida do cateto "c".

vi) Finalmente, vamos ao que está sendo pedido, que é a soma das medidas dos catetos do triângulo retângulo da sua questão. Então, chamando essa soma de "S", teremos:

S = b + c ---- substituindo-se "b" e "c" pelas suas respectivas medidas, teremos:

S = 15 + 20
S = 35 cm <--- Esta é  resposta. Ou seja, esta é a soma pedida das medidas dos dois catetos do triângulo retângulo da sua questão.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.