Question

A média geométrica de 4 números é dada pela raiz quadrada do produto dos mesmos. Sabendo que a equação a(elevado a 4)- 20a² + 64 = 0 possui 4 raízes reais, determine a média geométrica de suas raízes.

Answer 1

A gente quer saber a tal média geométrica das raízes dessa equação:

a^4 - 20a² + 64 = 0

Tem um jeito muito fácil e muito rápido de resolver isso. O termo independente de a (o coeficiente que não tem nenhum "a" multiplicando) é o produto das raízes:

Produto = p = 64

Se a média geométrica é a raiz quadrada disso, então:

Média = √64 = 8. Pronto.

Mas de onde veio essa mágica?

Dá pra provar que, na equação de segundo grau e biquadrada, o produto das raízes é dado por C/A:

Ax² + Bx + C = 0 ou Ax^4 + Bx² + C = 0

Mas também dá pra resolver a equação, encontrar as raízes e depois fazer o produto delas.

Pra resolver uma equação biquadrada, você inventa uma variável y = a²

Substituindo na equação:

y² - 20y + 64 = 0

A soma é 20 e produto 64, então 4 e 16 são soluções. Outro jeito de resolver que é garantido, é por Bháskara.

y = 4 ⇒ a² = 4 ⇒ a = 2 ou a = -2

y = 16 ⇒ a² = 16 ⇒ a = 4 ou a = -4

Fazendo o produto:

p = (2)*(-2)*(4)*(-4) = 64, que é o que a gente esperava mesmo!