Question

A média aritmética simples de 3 números impares positivos e consecutivos é igual a 21. O produto destes números não será divisível por

Answer 1

Olá.

Seja o primeiro número x, o segundo x + 2, o terceiro x + 4.

A média aritmética simples entre eles vale 21. Logo, a soma dividida pela quantidade de números(no caso, três) deve ser 21.

$\mathsf{\dfrac{x + (x + 2) + (x+4)}{3}=21}\\ \\ \mathsf{x + x + x + 2 + 4 = 3\cdot21}\\ \\ \mathsf{3x + 6 = 63}\\ \\ \mathsf{3x = 57}\\ \\ \mathsf{x = 19}$

Desse modo, os números serão:

19, 21, 23.

Vejamos o produto desses números:

$\mathsf{P = 19.21.23}\\ \\ \mathsf{P = 19.(7.3) . 23}\\ \\ \\ \mathsf{P = 1.3.7.19.23}$

Dessa forma, qualquer combinação de multiplicação entre os fatores desse número será divisor de P(veja um caso mais simples: P = 12 = 2 . 2 . 3; 12 pode ser dividido por 2, 3, 2.2(que é 4), 2.3 (6) e 12 ).

Poderemos fazer os divisores do número. Inicialmente, pegarei os números da decomposição, depois o produdo entre 2 deles, depois 3 e por último o próprio número(P):

Básicos:    3, 7, 19, 23   (o um(1) é trivial)

 Entre 2 deles: 
3.7, 3.19, 3.23, 7.19, 7.23, 19.23

Entre 3 deles:
3.7.19, 3.7.23, 3.19.23, 7.19.23

Entre 4 deles:

3.7.19.23

`Podemos fazer um conjunto dos divisores, já efetuando as multiplicações:

$\mathsf{d(P) = \{1,3,7,19,23,21,57,69,133,161, 437, 399,483,1311,3059,9177\}}$

Para qualquer número que não esteja no conjunto d(p), ocorrerá de P não poder ser dividido pela escolha.