Question

A média aritmética dos seis meios geométricos que podem ser inseridos entre 4 e 512 é:

a) 48
b) 84
c) 128
d) 64
e) 96​

Answer 1

Inserir meios geométricos significa formar uma sequência que siga uma Progressão Geométrica;

Ele nos deu que existem 6 termos entre 4 e 512. Logo, se trata uma P.G. de 8 termos (os 6 meios + os dois termos de fora), com termo inicial 4 e termo final 512:

$a_n=4*q^{n-1}$

Para acharmos a razão, basta usar o fato de que o 8° termo é 512:

$a_8=4*q^{8-1}\\512=4*q^7\\q^7=512:4\\q^7=128\\q=\sqrt[7]{128}\\ q=2$

Logo, a P.G. tem razão 2.

Com isso, sabemos que a sequência é:

{4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512}

Obs: Note que queremos apenas a média dos meios geométricos

Para pegarmos a média aritmética, precisamos somar todos os meios e então dividir pelo número de meios. Porém, como se trata de uma P.G., convém usar a fórmula de soma ao invés de somar um por um:

$S_n=a_1*\frac{q^n-1}{q-1}$

$S_8=4*\frac{2^8-1}{2-1}\\ =4*(256-1)/1\\=4*255\\=1020$

A soma dos meios será então 1020-512-4= 504

Por fim, temos que a média aritmética é 504/6= 84

Alternativa B

Se estiver com alguma dúvida, pode me chamar nos comentários. Bons estudos ^~