Question

A média aritmética das idades de um grupo de 120 pessoas é de 40 anos. se a média aritmética das idades das mulheres é de 35 anos e a dos homens é de 50 anos, qual o numero de pessoas de cada sexo, no grupo ?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Romildo, que a resolução é simples, embora apenas um pouco trabalhosa.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
Chamaremos o número de homens de "n" e o número de mulheres de "k".

i) Como o total do grupo tem 120 pessoas, então teremos que:

n + k = 120     . (I)

ii) Como a média aritmética das mulheres é de 35 anos, então tomaremos o a soma das idades das mulheres (M) e dividiremos pelo seu número (k). Assim, teremos:

M/k = 35 ---- multiplicando em cruz, teremos:
M = 35*k
M = 35k      . (II)

iii) Como a média aritmética dos homens é de 50 anos, então tomaremos a soma das  idades dos homens (H) e dividiremos pelo seu número (n). Assim, teremos:

H/n = 50 ---- multiplicando em cruz, teremos:
H = 50*n
H = 50n       . (III)

iv) Como a média aritmética de todo o grupo (H+M) é de 40 anos, e considerando que o grupo tem 120 pessoas, então teremos:

(H+M)/120 = 40 ----- multiplicando em cruz, teremos:
H + M = 40*120
H + M = 4.800    . (IV)

v) Mas já vimos antes que H = 50n [conforme a expressão (III)] e já vimos também que M = 35k [conforme a expressão (II)].
Então vamos na expressão (IV) acima e vamos fazer as devidas substituições. Vamos apenas repetir a expressão (IV), que é esta:

H + M = 4.800 ----- fazendo as devidas substituições [conforme vimos nas expressões (II) e (III)], teremos:

50n + 35k = 4.800       . (V).

vi) Agora note que as expressões (I) e (V) formam um sistema, ou seja, temos que:

n + k = 120      . (I)
e 
50n + 35k = 4.800      . (V)
 
Faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (I) por "-35" e, em seguida, somaremos, membro a membro, com a expressão (V). Assim, fazendo isso, teremos:

- 35n-35k = -4.200 --- [esta é a expressão (I) multiplicada por "-35"]
50n + 35k = 4.800 ------ [esta é a expressão (V) normal]
----------------------------- somando membro a membro, ficaremos com:
15n + 0 = 600 --- ou apenas:
15n = 600
n = 600/15 ---- veja que esta divisão dá exatamente "40". Logo:
n = 40 <---- Este é o número de homens, pois, como você viu logo no início, chamamos de "n" o número de homens.

Agora, para encontrar o número de mulheres (k) vamos na expressão (I), que é esta:

n + k = 120 ----- substituindo-se "n" por "40" (que é o número de homens), temos:

40 + k = 120
k = 120 - 40
k = 80 <--- Este é o número de mulheres.

vii) Assim, resumindo, teremos que o número de pessoas de cada sexo será de:

40 homens e 80 mulheres <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.