Question

A matriz C é resultado da soma das matrizes A e B. Determine o elemento da matriz C22. ​

Answer 1

A questão trata de operações entre matrizes, em particular, a soma de matrizes.

Soma de matrizes

Sejam A, B matrizes m por n, podemos denotar as matrizes a partir de seus elementos pela notação

$A = (a_{ij}), \hspace{0.3cm} i = 1, \dots, m\, , \hspace{0.3cm} j = 1,\dots, n$

Em que $a_{ij}$ indica o termo da i-ésima linha e j-ésima coluna de A, por exemplo, uma matriz arbitrária

$A = (a_{ij}) = \left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&\dots\\a_{21}&a_{22}&\dots\\\vdots&\vdots&\ddots\end{array}\right]$

A soma de A com B, representada por

$A+B$

tem como resultado a matriz obtida somando os termos de mesma posição, ou seja, em notação de elementos

$A+B = (a_{ij})+(b_{ij}) = (a_{ij}+b_{ij})$

Perceba que a soma só existe se A e B têm mesmo tamanho, caso contrário, existiria pelo menos um termo numa posição que existiria numa matriz e não em outra.

Por exemplo, somemos as matrizes

$A = \left[\begin{array}{cc}1&2\\5&6\end{array}\right] \, , \, B = \left[\begin{array}{cc}4&3\\7&1\end{array}\right]$

$A+B = \left[\begin{array}{cc}1+4&2+3\\5+7&6+1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}5&5\\12&7\end{array}\right]$

Deste modo, perceba que se queremos um elemento em específico da soma, basta calcularmos apenas a soma dos termos de A e B na mesma posição ao invés de calcular a matriz inteira.

Exercício

Sejam A, B matrizes 2 por 3 definidas de acordo com

$A = \left[\begin{array}{ccc}-3&5&2\\6&4&8\end{array}\right] \, , \, B = \left[\begin{array}{ccc}-8&-9&12\\45&6&-3\end{array}\right]$

Queremos obter o elemento na posição (2, 2) da soma, como vimos, podemos calcular o termo simplesmente somando os termos de posição (2, 2) de A e B, ou seja,

$c_{22} = a_{22}+b_{22}$

$c_{22} = 4+6 = 10$

Assim, o elemento c₂₂ da soma de A com B vale 10.

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