Question

A matriz associada a transformação linear t((x y)) = (x + 2y; -x +3y) é

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a matriz associada à transformação linear é:

                    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \begin{bmatrix}T \end{bmatrix}_{B_{2}}^{B_{2}} = \begin{bmatrix}1 & 2\\-1 & 3 \end{bmatrix}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a lei da transformação linear:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt T(x, y) = (x + 2y, -x + 3y)\end{gathered}$

Para resolver esta questão devemos:

• Montar a transformação completa.

       Como não nos foi especificado o domínio e nem o contradomínio utilizarei, ambos, como sendo R², isto é:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt T:R^{2}\to R^{2}, \:\:T(x, y) = (x + 2y, -x + 3y)\end{gathered}$

• Especificar a base do Domínio e Contradomínio.

        Como não foi especificado quais seriam essas bases, utilizaremos a base canônica. Então, temos:

        $\Large\begin{cases}\tt Base\:do\:Dominio = B_{2} = \{(1, 0),\,(0, 1)\}\\\tt Base\:do\:Contradominio = B_{2} = \{(1, 0),\,(0, 1)\}\end{cases}$

• Obter  a transformação dos elementos da base do Domínio.

        Para isso, devemos aplicar a lei da transformação linear à cada um dos elementos da base do Domínio, ou seja:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt T(1, 0) = (1 + 2\cdot0, \,-1 + 3\cdot0) = (1, -1)\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt T(0, 1) = (0 + 2\cdot1,\,- 0 + 3\cdot1) = (2, 3)\end{gathered}$

• Montar a matriz associada à transformação linear:

                                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \begin{bmatrix}T \end{bmatrix}_{B_{2}}^{B_{2}} = \begin{bmatrix}1 & 2\\-1 & 3 \end{bmatrix}\end{gathered} }$

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