Question

a matriz associada a transformação linear T((x, y))=(3x+2y,5x-7y)é

Answer 1

Você quer uma matriz $T= \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]$ tal que

$[x \quad y] . \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\\\end{array}\right] = [3x+2y \quad 5x-7y]$

Logo, multiplicando as matrizes da esquerda e igualando com a da direita, temos:

ax + cy = 3x + 2y ---->  a = 3  e  c = 2

bx + dy = 5x - 7y  ---->  b = 5 e   d = -7

Portanto, a matriz T é $\left[\begin{array}{cc}3&5\\2&-7\\\end{array}\right]$

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a matriz associada à transformação linear é:

                    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \begin{bmatrix}T \end{bmatrix}_{B_{2}}^{B_{2}} = \begin{bmatrix}3 & 2\\5 & -7 \end{bmatrix}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a lei da transformação linear:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt T(x, y) = (3x + 2y, 5x - 7y)\end{gathered}$

Para resolver esta questão devemos:

• Montar a transformação completa.

       Como não nos foi especificado o domínio e nem o contradomínio utilizarei, ambos, como sendo R², isto é:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt T:R^{2}\to R^{2}, \:\:T(x, y) = (3x + 2y, 5x - 7y)\end{gathered}$

• Especificar a base do Domínio e Contradomínio.

        Como não foi especificado quais seriam essas bases, utilizaremos a base canônica. Então, temos:

        $\Large\begin{cases}\tt Base\:do\:Dominio = B_{2} = \{(1, 0),\,(0, 1)\}\\\tt Base\:do\:Contradominio = B_{2} = \{(1, 0),\,(0, 1)\}\end{cases}$

• Obter  a transformação dos elementos da base do Domínio.

        Para isso, devemos aplicar a lei da transformação linear à cada um dos elementos da base do Domínio, ou seja:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt T(1, 0) = (3\cdot1 + 2\cdot0, \,5\cdot1 - 7\cdot0) = (3, 5)\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt T(0, 1) = (3\cdot0 + 2\cdot1,\, 5\cdot0 - 7\cdot1) = (2, -7)\end{gathered}$

• Montar a matriz associada à transformação linear:

                                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \begin{bmatrix}T \end{bmatrix}_{B_{2}}^{B_{2}} = \begin{bmatrix}3 & 2\\5 & -7 \end{bmatrix}\end{gathered} }$

Saiba mais:

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