Question

a matriz A=[2; 5; 1; x;] e inversa de B=[3; y; -1; 2;] pode se afirmar , corretamente , que a diferenca (x-y) e igual a:

Answer 1

olá meu bom, aqui vai a resolução

$A= \left[\begin{array}{ccc}2&5&\\ 1&x& \\\end{array}\right] B= \left[\begin{array}{ccc}3&y&\\ -1&2& \\\end{array}\right]$

$B* A^{-1} = I_{2}$

$\left[\begin{array}{ccc}2&5&\\ 1&x& \\\end{array}\right] *\left[\begin{array}{ccc}3&y&\\ -1&2& \\\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}1&0&\\0&1&\\\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}6+y&15+yx\\0&-5+2x\\\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

agr resolve o sistema de equações

$\left {6+y=1} y= -5$
$\left \-5+2x=1 2x=6 x=3$

voltando para oq a questão pede

$(x-y) 3-(-5)= 8$

Answer 2

A diferenca (x-y) e igual a 8

Para entender a questão, é necessário ter em mente alguns conceitos abaixo:

• Matriz quadrada: Matriz que possui um o mesmo numero de linhas e colunas
• Matriz identidade (Iₙ) : Matriz quadrada que possui todos os elementos iguais a 1 na diagonal principal e todos os outros iguais a 0.
• Matriz invertível: Matriz na qual o seu produto uma matriz inversa é igual a matriz identidade.

VEJA O CALCULO ABAIXO:

A questão nos diz que a matriz A é a matriz inversa de B, para isso ser verdade temos que:

A = B⁻¹

B * B⁻¹ = Iₙ

Reescrevendo esses termos em forma de matriz temos:

$\left[\begin{array}{ccc}3&y\\-1&2\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}2&5\\1&x\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}(3*2+y*1)&(3*5+y*x)\\(-1*2+2*1)&(-1*5+2*x)\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}(6+y)&(15+yx)\\0&(-5+2x)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Para satisfazer a condição precisamos que cada termo da matriz multiplicada seja igual ao da matriz identidade, assim temos:

6 + y = 1    →   y = - 5

-5 + 2x = 1   →  x = 3

15 + yx = 0  →  15 - 15 = 0  (Condição verdadeira)

Assim temos que a diferença (x-y) = 3 - (-5) = 3 +5 = 8

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