Question

A massa da caixa 1 vale 12 kg e o coeficiente de atrito das caixas com os pisos dos planos (horizontal e inclinado) vale 0,30. Para o sistema continuar parado, qual é o valor máximo da massa que a caixa 2 pode ter?

Answer 1

A questão pode a massa da caixa 2, para o sistema continuar parado.

1º Se o sistema vai ficar parado, não há aceleração, logo a força resultante será 0.

Vamos analisar as forças em cada bloco separadamente.

Bloco 1

• Forças para esquerda :

$T$ = tração ( para esquerda )

• Forças para direita:

$Fat_1 = N_1.\mu$ ( força de atrito do bloco 1, igual a normal vezes coef. de atrito)

• Forças perpendiculares :

$P = N = m.g$ ( peso do bloco 1, será igual a normal )

$\mu = 0,3$ ( coeficiente de atrito )

Vamos calcular a $Fat_1$ :

$\fbox{\displaystyle Fat_1 = P.\mu \to Fat_1 = m.g.\mu \to Fat_1 = 12g.0,3 }$

portanto :

$\fbox{\displaystyle Fat_1 = 3,6.g }$

Agora vamos montar a força resultante. As forças para direita serão iguais a força para esquerda, ou seja :

$\fbox{\displaystyle Fr = T - Fat_1 \to m.a = T - Fat_1 }$

como não há aceleração a força resultante será 0. Então :

$\fbox{\displaystyle T - Fat_1 = 0 \to T = Fat_1 }$

logo :

$\fbox{\displaystyle T = 3,6.g }$

guarda essa informação e vamos para o bloco 2.

Bloco 2

No bloco 2 as forças atuantes são :  

• Paralelo à rampa :

$P_x = P.Sen(30^{\circ})$

( peso na horizontal em relação à rampa, só decompor os vetores peso )

$T =$ tração

$Fat_2 = N_2.\mu$ ( força de atrito, sendo igual a normal vezes coef de atrito)

 

• Perpendiculares à rampa :

$P_y = P.Cos(30^{\circ})$ ( peso na vertical em relação à rampa )

$N_2 = P_y$  ( força normal em relação ao bloco com a rampa, ele será igual ao peso em vertical )  

Vamos calcular a $Fat_2$ :

$\fbox{\displaystyle Fat_2 = N_2.\mu \to Fat_2 = P_y.\mu \to Fat_2 = mg.cos(30^{\circ}).0,3 }$

Portanto :

$\fbox{\displaystyle Fat_2 = mg.cos(30^{\circ}).0,3 \to Fat_2 = m.g.\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{3}{10} }$

Então a força de atrito 2 é igual a :

$\fbox{\displaystyle Fat_2 = m.g.\frac{3.\sqrt{3}}{20} }$

Agora vamos fazer a força resultante. Como não há movimento também não há aceleração, então a força resultante será 0.

As forças que estão para baixo serão iguais as forças para cima, ou seja :

$\fbox{\displaystyle Fr = P_x - T - Fat_2 }$

substituindo :

$\fbox{\displaystyle \frac{mg.1}{2} - 3,6.g - \frac{mg.3\sqrt{3}}{20} = 0 }$

isolando a massa :

$\fbox{\displaystyle \frac{mg.1}{2} - \frac{mg.3\sqrt{3}}{20} = 3,6.g \ }$

simplificando as gravidades e tirando o MMC :

$\fbox{\displaystyle \frac{10.m}{20} - \frac{m.3\sqrt{3}}{20} = 3,6 \ \to \frac{m.(10-3\sqrt{3})}{20} = 3,6 \to m.(10-3\sqrt{3}) = 72 }$

então :

$\fbox{\displaystyle m.= \frac{72}{(10-3\sqrt{3}) } }$

racionalizando :

$\fbox{\displaystyle m.= \frac{72}{(10-3\sqrt{3}) }.\frac{(10+3\sqrt{3})}{(10+3\sqrt{3})} \to m = \frac{72.(10+3\sqrt{3})}{10^2 - (3\sqrt{3})^2} }$

continuando :

$\fbox{\displaystyle m = \frac{72.(10+3\sqrt{3})}{10^2 - (3\sqrt{3})^2} \to m = \frac{72.(10+3\sqrt{3}}{100-27} }$

Portanto a massa do bloco 2 tem que ser :

$\fbox{\displaystyle m = \frac{72.(10+3\sqrt{3})}{73}Kg }$

( Se eu não errei nenhuma conta é isso aí mesmo.)

(imagem para melhor compreensão)