Question

A maior diagonal de um hexágono regular mede metade da altura de um triângulo equilátero. A razão entre a área da circunferência circunscrita nesse hexágono
e a área da circunferência inscrita nesse triângulo é:

resposta gabarito: 16/9

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

área da circunferência circunscrita no hexágono de diagonal = d

que também é a diagonal da circunferência

A=πr²=π(d/2)²=πd²/4

o triângulo tem altura = 2d

como ele é um triângulo equilátero, a circunferência inscrita nele tem r= h/3,

é o apótema.

r=h/3=2d/3

área da circuferência inscrita= πr²=π(2d/3)²=π4d²/9

a razão circunferência hexagono/circunferência triângulo é

πd²/4/4πd²/9=9/16

está ao contrário da resposta.

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Note pela imagem em anexo que que o lado do triângulo equilátero mede L. Assim, temos que sua altura h mede:

h = L√3/2

Cálculo da área A₁ da circunferência C₁ circunscrita no hexágono:

O diâmetro D₁ da circunferência C₁ = h/2 => D₁ = L√3/2/2 => D₁ = L√3/2.1/2 => D₁ = L√3/4. Logo, seu raio r₁ = D₁/2 => r₁ = L√3/4/2 => r₁ = L√3/4.1/2 => r₁ = L√3/8

Área A₁ da circunferência C₁:

A₁ = π.r² => A₁ = π(L√3/8)² => A₁ = 3.L²/64

Cálculo da área A₂ da circunferência C₂ inscrita no triângulo equilátero:

Temos que seu raio r₂ = h/3 => r₂ = L√3/2/3 => r₂ = L√3/2.1/3 => r₂ = L√3/6

Área A₂ da circunferência C₂ inscrita no triângulo ABC:

A₂ = π.r² => A₂ = π.(L√3/6)² => A₂ = 3L²/36

Razão entre as áreas A₁ e A₂:

A₁/A₂ = 3L²/64/3L²/36 => A₁/A₂ = 3L²/64.36/3L² = 36/64 = 9/16

Agora, se for a razão entre as áreas da circunferência inscrita no triângulo e a circunferência circunscrita no hexágono, temos:

A₂/A₁ = 3L²/36/3L²/64 => A₂/A₁ = 3L²/36.64/3L² => A₂/A₁ = 64/36 => A₂/A₁ = 9/16