Question

A lei que permite estimar a depreciação de um equipamento industrial é v(t) = 5.000 x 4^ -0,02t , em que V(t) é o valor ( em reais) do equipamento em T anos após sua aquisição.

A) Por qual valor esse equipamento foi adquirido?

B) Em quanto tempo ele passará a valer metade do valor da aquisição?

Answer 1

$v(t) = 5000 \times {4}^{ - 0,02t}$

a) Quando o produto foi adquirido o tempo era igual a 0. Igualar t a zero na fórmula.

$v(0) = 5000 \times {4}^{ - 0,02 \times 0}$

Resolver expoente.

$v(0) = 5000 \times {4}^{0}$

O expoente vira 1

$v(0) = 5000 \times 1 = \boxed {5000}$

Logo, o produto foi adquirido por 5000 reais.

Answer 2

Resposta:

A) 5.000 reais;

B) 25 anos.

Explicação passo a passo:

A) Por qual valor esse equipamento foi adquirido?

No momento em que o equipamento foi adquirido, ou seja, comprado, ele era novo, o que significa que ainda não possuía nem mesmo um ano de uso. Como T está sendo contado em anos, neste caso t = 0 anos. Temos:

V (t) = 5000 × $4^{-0,02t}$

V (0) = 5000 × $4^{-0,02.0}$

V (0) = 5000 × $4^{0}$

OBS: lembre-se que todo número elevado a 0 é igual a 1.

V (0) = 5000 × 1 = 5000 reais é o valor pelo qual o equipamento foi adquirido.

B) Em quanto tempo ele passará a valer metade do valor da aquisição?

Se o seu valor de aquisição é 5000 reais, a metade deste valor (V) é 5000 ÷ 2 = 2.500 reais.

Temos:

V (t) = 5000 × $4^{-0,02t}$

2.500 = 5000 × $4^{-0,02t}$

$\frac{2500}{5000} = 4^{-0,02t}$

$\frac{1}{2} = 4^{-0,02t}$

Propriedade de potenciação: $\frac{a}{b}^{n} = \frac{b}{a} ^{-n}$ e vice-versa, então  $\frac{1}{2}^{1} = \frac{2}{1} ^{-1} = 2^{-1}$:

$2^{-1} = 4^{-0,02t}$

Fatoramos 4:

$2^{-1} = (2^{2)^{-0,02t}$

OBS: $(a^{m} )^{n}$ =  $a^{m.n}$, então $(2^{2)^{-0,02t}} = 2^{2 .-0,02t} = 2^{-0,04t}$ (multiplicação de expoentes):

$2^{-1} = 2^{-0,04t}$

Transformamos -0,04 em fração:

$- 0,04 = - \frac{004}{100} = - \frac{4}{100} =- \frac{2}{50} = - \frac{1}{25}$

Temos: $2^{-1} = 2^{-1/25t}$

Em ambos os números, as bases (2) são iguais. Então, as cancelamos, deixando apenas os expoentes e obtemos:

- 1 = $- \frac{1}{25}$ × t

- 1 × 25 = - 1 × t

- 25 = - t

T = 25 anos é o tempo em que ele passará a valer metade do valor de aquisição.