Matemática, perguntado por ryangabrielzarpelon, 11 meses atrás

A largura da faixa de areia de uma praia varia com o tempo devido ao movimento das marés. Em metros, a largura C da faixa de areia, em função do tempo t, em horas, é expressa por

C(t) = 30 + 20sen πt/12 , em que t ≥ 0.

Nessa situação, o período de C e a largura máxima da faixa de areia são, respectivamente, iguais a

A24 h e 50 m.

B

24 h e 10 m.

C

12 h e 30 m.

D

12 h e 50 m.

E

12 h e 20 m.

Soluções para a tarefa

Respondido por Gaper

A função C(t) determina a largura da faixa de areia em função da hora do dia. É possível notar que serão cobrados alguns conceitos como o seno. Dê uma olhada em alguns conceitos antes de pular para a parte prática:

❏ Círculo trigonométrico

É uma circunferência de raio 1 cujo centro está geralmente na origem do plano cartesiano → ponto (0; 0). Essa circunferência é dividida em 4 partes chamadas de quadrantes, sendo o primeiro entre os ângulos 0° e 90°, o segundo entre os ângulos 90° e 180°, o terceiro entre 180° e 270° e o quarto entre 270° e 360°.

Uma volta completa (360°) é representada por 2π radianos. Sendo assim, 180° equivalem a π e 90° equivalem a π/2. Todos os demais ângulos podem ser achados a partir dessas informações.

Exemplo: 270° = 90° × 3; 270° = 3 π/2.

❏ Seno

O seno de um ângulo qualquer é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa (c.o ÷ hip). No círculo trigonométrico, a reta que forma o ângulo com o eixo x corta a circunferência em um ponto. É traçada uma linha perpendicular com o eixo x partindo desse ponto. A medida desse segmento é o seno do ângulo. O maior seno possível será igual ao raio da circunferência (1), e o ângulo cujo seno é 1 é 90°.

❏ Resolução:

A largura da faixa de areia pode variar durante o dia todo, com o passar das horas. Sendo assim, o período de C é equivalente à quantidade de horas que podemos colocar como valor de t. Essa quantidade é igual a 24.

A maior largura da faixa de areia será dada pelo maior valor possível de C. Isso ocorrerá quando o seno de πt/12 tiver em sem valor máximo (1). Vamos substituir isso na função:

C(máx) = 30 + 20 · 1

C(máx) = 50 m

Curiosidade:

Caso fosse necessário achar o horário em que isso ocorre, poderíamos fazê-lo da seguinte forma:

Como já mencionado, o ângulo cujo seno é 1 é 90°, e também foi visto que 90° = π/2. Sendo assim, πt/12 equivale a 90° e podemos montar a seguinte relação: