Question

A inversão de matrizes, o cálculo de determinantes e outros procedimentos realizados com matrizes são muito importantes na resolução de sistemas lineares e usar algumas predefinições pode facilitar na aplicação desses conceitos. Uma determinada empresa conseguiu encontrar uma matriz que traduz o sistema de equações referente a diminuição dos custos de sua produção. Sobre a matriz acima, afirma-se: I) Quando “m” for igual a “1”, o sistema será possível e determinado. II) Quando “m” for igual a “2”, o sistema será impossível. III) Quando “m” for igual a “1/2”, o sistema não será possível e determinado. IV) Quando “m” for igual a “-1”, o sistema será possível e determinado. Estão corretas as afirmativas: ​ Alternativas Alternativa 1: I, apenas. Alternativa 2: II, apenas. Alternativa 3: III, apenas. Alternativa 4: IV, apenas. Alternativa 5: III e IV, apenas

Answer 1

Olá!

Na questão esta faltando a matriz, porém eu achei uma imagem (anexo) de uma matriz que serve como exemplo para resolver a pergunta.

Para resolver a questão, temos que resolver cada uma das matrizes, substituindo o valor d "m" con os valores das alternativas, assim podemos determinar quais são corretas

Para isso, preparamos o determinante dividindo-o em componentes menores, assim a matriz fica de 2 * 2, e usamos a fórmula:

$\left[\begin{array}{ccc}a&&b\\c&&d\end{array}\right] = ad - bc$

Vou a fazer um exemplo com uma das alternativas:

I) Quando “m” for igual a “1”, o sistema será possível e determinado.

$1 \left[\begin{array}{ccc}1&&-1\\-1&&2\end{array}\right] +1 \left[\begin{array}{ccc}-2&&1\\-1&&2\end{array}\right] + 2 \left[\begin{array}{ccc}-2&&1\\1&&-1\end{array}\right]$

Aplicamos a fórmula para cada matriz:

$1 \left[\begin{array}{ccc}1&&-1\\-1&&2\end{array}\right] = 1\\\\1 \left[\begin{array}{ccc}-2&&1\\-1&&2\end{array}\right] = -3\\\\2 \left[\begin{array}{ccc}-2&&1\\1&&-1\end{array}\right] = 2\\\\M = 1 -3 + 2 = 0$

Assim temos que o sistema será impossível.

II) Quando “m” for igual a “2”, o sistema será impossível.

$1 \left[\begin{array}{ccc}2&&-1\\-1&&2\end{array}\right] +1 \left[\begin{array}{ccc}-2&&2\\-1&&2\end{array}\right] + 2 \left[\begin{array}{ccc}-2&&2\\2&&-1\end{array}\right] \\M = -3$

Por tanto o sistema será possível e determinado.

III) Quando “m” for igual a “1/2”, o sistema não será possível e determinado.

$1 \left[\begin{array}{ccc}-1/2&&-1\\-1&&2\end{array}\right] +1 \left[\begin{array}{ccc}-2&&1/2\\-1&&2\end{array}\right] + 2 \left[\begin{array}{ccc}-2&&1/2\\1/2&&-1\end{array}\right] \\ M = 0$

Por tanto o sistema não será possível e determinado.

IV) Quando “m” for igual a “-1”, o sistema será possível e determinado.

$1 \left[\begin{array}{ccc}-1&&-1\\-1&&2\end{array}\right] +1 \left[\begin{array}{ccc}-2&&-1\\-1&&2\end{array}\right] + 2 \left[\begin{array}{ccc}-2&&-1\\-1&&-1\end{array}\right]\\M = - 6$

Por tanto o sistema será possível e determinado.

Dessa forma temos que estão corretas as afirmativas: Alternativa 5: III e IV, apenas