A inversão de matrizes é um processo que, apesar de trabalhoso, possui grande importância na resolução de problemas matriciais e de sistemas lineares. Por definição, sabemos que, quando a multiplicação de duas matrizes resulta em uma matriz identidade, as duas matrizes são inversas uma da outra.
Para um determinado sistema, um engenheiro determinou a seguinte matriz correspondente:
Soluções para a tarefa
Completando a questão:
[1 0]
[x y]
Sobre o que foi apresentado acima, afirma-se:
I) Se "x = 1" e "y = 0" a matriz será definida como sendo identidade.
II) O determinante será sempre igual ao valor de "y".
III) Sendo "x = 2" e "y = 3" a inversa da matriz será
[1 0]
[-2/3 1/3]
IV) Sendo "x = -1" e "y = 1" a inversa da matriz será:
[1 0]
[1 1]
Estão corretas as afirmativas:
Alternativas
Alternativa 1: I, II, III e IV.
Alternativa 2: I e III, apenas.
Alternativa 3: III e IV, apenas.
Alternativa 4: I, III e IV, apenas.
Alternativa 5: II, III e IV, apenas.
Solução
Vamos analisar cada afirmativa:
I) Falsa.
A matriz identidade possui todos os elementos da diagonal principal iguais a 1 e os demais elementos iguais a 0.
II) Verdadeira.
Calculando o determinante, obtemos:
D = 1.y - x.0 = y - 0 = y.
III) Verdadeira.
Ao realizar a multiplicação
[1 0] [1 0]
[2 3][-2/3 1/3]
encontramos como resultado a matriz identidade.
IV) Verdadeira.
Ao realizar a multiplicação
[1 0][1 0]
[-1 1][1 1]
encontramos como resultado a matriz identidade.
Portanto, a alternativa correta é a alternativa 5.