Question

A inversa da matriz A abaixo é:

1 1 1
A= 3 5 4
3 6 5


Alternativas:

1 1 -1
A) A¯¹ = -3 2 -1
3 -3 2

1 2 -1
B) A¯¹ = 3 2 2
3 3 3

1 2 -1
C) A¯¹ = -3 1 -1
2 -3 2


1 -2 1
D) A¯¹ = -3 1 1
2 -3 -2

Answer 1

Letra A >>> Resposta

Explicação passo a passo:

Temos a matriz:

$\sf A = \begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 3&5&4 \\ 3&6&5 \end{bmatrix}$

Para calcular sua inversa, primeiro cacularemos seu determinante

$\sf det(A) = \begin{vmatrix} 1&1&1 \\ 3&5&4 \\ 3&6&5 \end{vmatrix} \begin{matrix} 1&1 \\ 3&5 \\ 3&6 \end{matrix}$

$\sf det(A) = 25 + 12 + 18 - 15 - 24 - 15$

$\pink{\sf det(A) = 1}$

Agora calcular a matriz dos cofatores, em cada cada elemento da nossa matriz vamos eliminar a linha e coluna em que estão, formando assim uma nova matriz, e depois calcule então o seu determinante

(deslize para esquerda para vizualizar melhor caso esteja no celular)

$\footnotesize{\sf A_{11} = \begin{bmatrix} 5&4 \\ 6&5 \end{bmatrix} \Rightarrow D = 1~~~A_{12} = \begin{bmatrix} 3&4 \\ 3&5 \end{bmatrix} \Rightarrow D = 3~~~A_{13} = \begin{bmatrix} 3&5 \\ 3&6 \end{bmatrix} \Rightarrow D = 3}$

$\footnotesize{\sf A_{21} = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 6&5 \end{bmatrix} \Rightarrow D = -1~~~A_{22} = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 3&5 \end{bmatrix} \Rightarrow D = 2~~~A_{23} = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 3&6 \end{bmatrix} \Rightarrow D = 3}$

$\footnotesize{\sf A_{31} = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 5&4 \end{bmatrix} \Rightarrow D = - 1~~~A_{32} = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 3&4 \end{bmatrix} \Rightarrow D = 1~~~A_{33} = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 3&5 \end{bmatrix} \Rightarrow D = 2}$

Agora monte a matriz, mas utilizando a regra do mantém e troca, coloque o primeiro elemento com o sinal mantido, e o segundo com o sinal trocado e assim por diante (os elementos com sinais trocados estão destacados em rosa)

$\sf Cof = \begin{bmatrix} 1&\pink{-3}&3 \\ \pink{1}&2&\pink{-3} \\ -1&\pink{-1}&2 \end{bmatrix}$

Agora vamos determinar a matriz transposta, para isso, transforme as linhas em colunas

$\sf Cof^T= \begin{bmatrix} 1&1& - 1 \\ - 3&2& - 1 \\ 3& - 3&2 \end{bmatrix}$

Por fim, divida os elementos da matriz transposta pelo det(A), mas como seu valor é 1, então não faz diferença dividir, logo ja temos a respsta:

$\pink{\sf A^{-1} = \begin{bmatrix} 1&1& - 1 \\ - 3&2& - 1 \\ 3& - 3&2 \end{bmatrix}}$

>>> Letra A <<<