Question

A interseção dos gráficos das funções f(x)=|x| e g(x)=1-|x| e esboçadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, determina um polígono.

A área desse polígono é exatamente:


1 u.a


0,5 u.a


0,25 u.a


1,5 u.a


0,125 u.a

Answer 1

$Vamos \ determinar \ os \ v\'ertices \ das \ fun\c{c}\~oes :$

$Como \ o \ m\'odulo \ \'e \ sempre \ positivo, \ f_{(x)} \ sempre \ se \ encontra \ na \ parte \ \\ de \ cima \ do \ eixo \ Y.$

$(Vamos \ testar \ alguns \ valores... \\ Para \ x \ = \ -4 \ \rightarrow \\ f_{(-4)} \ \rightarrow \ |-4| \ = \ 4 \ e \ g_{(-4)} \ = \ 1 \ - \ |-4| \ \rightarrow \ 1 \ - \ 4 \ = \ -3 \\ \\ etc... )$

$Ou \ seja, \ v\'ertice \ de \ f_{(x)} \ \rightarrow \ m\'odulo \ m\'inimo : \ x \ = \ 0$

$f_{(0)} \ \rightarrow \ |0| \ = \ 0 \\ \\ Antes \ e \ ap\'os \ isso, \ f_{(x)} \ sobe \ gradativamente...$

$V\'ertice \ de \ g_{(x)} \ \rightarrow \ m\'odulo \ m\'inimo : \ x \ = \ 0$

$g_{(0)} \ \rightarrow \ 1 \ - \ |0| \ = \ 1 \\ \\ Antes \ e \ ap\'os \ isso, \ g_{(x)} \ desce \ gradativamente...$

$Pontos \ de \ intersec\c{c}\~ao \ \rightarrow \ f_{(x)} \ = \ g_{(x)}$

$|x| \ = \ 1 \ - \ |x| \\ \\ |x| \ + \ |x| \ = \ 1 \\ \\ 2 \ . \ |x| \ = \ 1 \\ \\ |x| \ = \ \frac{1}{2} \\ \\ x \ = \ \pm \ \frac{1}{2} \ \rightarrow \ Dois \ pontos \ !$

$f_{(\frac{1}{2})} \ e \ f_{(\frac{-1}{2})} \ \rightarrow \ \frac{1}{2} \ ; \\ \\ g_{(\frac{1}{2})} \ e \ g_{(\frac{-1}{2})} \ \rightarrow \ \frac{1}{2}...$

$Pronto, \ j\'a \ temos \ os \ pontos \ do \ pol\'igono.$

$(0,0) \ (v\'ertices \ de \ f_{(x)}), \ (0,1) \ (v\'ertices \ de \ g_{(x)}) \ e \ \\ (\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}) / (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \ (os \ pontos \ de \ intersec\c{c}\~ao)...$

$Veja \ o \ anexo \ com \ o \ plano \ cartesiano. \\ Poder\'iamos \ fazer \ por \ determinantes, \ mas \ prefiro \ por \ geometria.$

$Veja \ que \ o \ pol\'igono \ pode \ ser \ visto \ com \ um \ losango, \ de \ diagonais :$

$\rightarrow \ d((0,0), (0,1)) \ = \ 1; \\ \\ \rightarrow \ d((\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})) \ = \ 1...$

$\'Area \ = \ \frac{diagonal \ . \ diagonal}{2} \\ \\ No \ caso \ : \\ \\ \'Area \ = \ \frac{1\ . \ 1}{2} \\ \\ \'Area \ = \ \frac{1}{2} \ u^2 \ ou \ 0,5 \ u^2$

Answer 2

A área desse polígono é exatamente 0,5 u.a.

Primeiramente, vamos calcular a interseção entre as funções f(x) = |x| e g(x) = 1 - |x|.

Para isso, temos que igualar as funções:

|x| = 1 - |x|

2|x| = 1

|x| = 1/2.

Daí, temos duas possibilidades:

x = 1/2 ou x = -1/2.

Se x = 1/2, então y = 1/2.

Se x = -1/2, então y = 1/2.

Assim, os pontos de interseção entre f(x) e g(x) são (-1/2,1/2) e (1/2,1/2).

Observe que os gráficos de f e g cortam os eixos das ordenadas nos pontos (0,1) e (0,0).

Além disso, os quatro pontos citados formam um quadrado de medida √2/2, pois as distâncias entre (-1/2,1/2) e (0,1), (0,1) e (1/2,1/2), (1/2,1/2) e (0,0), (0,0) e (-1/2,1/2) são iguais a √2/2.

Sabemos que a área de um quadrado é igual ao lado ao quadrado.

Portanto,

A = (√2/2)²

A = 2/4

A = 0,5 u.a.

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