Matemática, perguntado por anacristinarosa5227, 4 meses atrás

A integral tripla pode ser utilizada para o cálculo de volume de regiões limitadas no espaço, assim como para determinação de sua massa. Utilizando os conceitos para o cálculo de integrais e tomando as regiões limitadas apresentadas, calcule a integral tripla da função f(x,y,z)=z limitada por 0≤x≤1 ,0≤y≤4 e 0≤z≤1.
a - 2
b - 8
c - 16
d - 12
e - 4

Soluções para a tarefa

Respondido por ComandoAlfa

➞ (A) O resultado da Integral Tripla é 2

☞ Considere a integral tripla a seguir,

$\Large{\text{$\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}\int_{y_1}^{y_2}\int_{z_1}^{z_2} f(x,y,z)dzdydx$}}$

Do enunciado, temos

$\large\begin{cases}f( x,y,z) =z\\x_{1} =0;\ x_{2} =1\\y_{1} =0;\ y_{2} =4\\z_{1} =0;\ z_{2} =1\end{cases}$

Seguindo a ordem dz dy dx, podemos montar a nossa integral,

$\large{\text{$\displaystyle\int_{x_{1}}^{x_{2}}\int_{y_{1}}^{y_{2}}\int_{z_{1}}^{z_{2}} f( x,y,z) dzdydx=\int_{0}^{1}\int_{0}^{4}\int_{0}^{1} zdzdydx$}}$

Para resolvê-la, seguimos da integral mais interna até a integral mais externa.

$\large\begin{array}{l}\displaystyle\int _{x_{1}}^{x_{2}}\int _{y_{1}}^{y_{2}}\int _{z_{1}}^{z_{2}} f( x,y,z) dzdydx=\int _{0}^{1}\int _{0}^{4}\boxed{\int _{0}^{1} zdz} dydx\\\\=\displaystyle\int _{0}^{1}\int _{0}^{4}\boxed{\frac{z^{2}}{2}\Bigl|_{0}^{1}} dydx\\\\=\displaystyle\int _{0}^{1}\boxed{\int _{0}^{4}\frac{1}{2} dy} dx\\\\=\displaystyle\int _{0}^{1}\boxed{\frac{1}{2} y\Bigl|_{0}^{4}} dx\\\\=\displaystyle\int _{0}^{1} 2dx\\\\=2x\Bigl|_{0}^{1}\\\\=2\end{array}$