Question

A integral pode ser associada à área de figuras planas, e muitas são as funções que podem ser analisadas por meio de um processo de integração, porém é indicado que a representação gráfica esteja associada ao problema para que se evitem equívocos em relação à aplicação do processo e da técnica de integração. Nesse sentido, faz-se necessário, por exemplo, avaliar se a função integrando é par ou ímpar para que se estude a integral de forma consistente.

Uma peça retangular com dois metros de altura deverá ser ladrilhada. Ela possui uma linha horizontal, que divide sua altura ao meio, e uma curva descrita por f(x) = sen x foi desenhada nela tendo essa linha central como eixo horizontal. Se ladrilhos pretos devem ser comprados para cobrir a área entre a curva e a linha horizontal central, de forma que a área correspondente a um período da f(x) seja coberta, quantos ladrilhos pretos serão necessários, sabendo que a área de cada ladrilho preto é de 25 cm2?

Para responder ao problema, execute os seguintes passos:

1) Esboce a peça, com linha horizontal, curva f(x) e partes a serem ladrilhadas de preto explicitadas em um aplicativo digital capaz de desenhar corretamente f(x).

2) Calcule a área a ser coberta por ladrilhos pretos.

3) Determine a quantidade de ladrilhos pretos necessária.

Answer 1

A representação da função f(x) com a linha horizontal está na figura. As partes a serem coloridas de preto são as áreas que ficam entre a curva e a reta, tanto em cima quando embaixo dela.

Para calcular esta área, devemos integrar a função sen(x) no intervalo de 0 a π e multiplicar por 2 (já que as áreas são iguais). O motivo de não integrarmos de 0 a 2π é que como uma parte fica abaixo do eixo, a soma das áreas será 0. Então, temos que:

2∫sen(x)dx = 2(-cos(x))

No intervalo, temos:

2(-cos(π) - (-cos(0))) = 2.2 = 4 m²

Como cada ladrilho possui área de 25 cm², serão necessários 4/0,25 = 16 ladrilhos.