Question

a integral dx/x^2 +9 limit 3 to -infinito converge ou diverge?

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\dfrac{\pi}{4}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Seja a integral definida:

$\displaystyle{\int_{-\infty}^3\dfrac{dx}{x^2+9}$

Para determinarmos se a integral converge e encontrarmos um resultado, reescrevemos:

$\displaystyle{\int_{-\infty} ^b f(x)\,dx=\underset{a\rightarrow-\infty}\lim~\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx}$.

Se  $f(x)$ é uma função integrável e não apresenta assíntotas em $x=-\infty$, este limite existe e a integral converge.

Lembre-se que esta é uma integral imediata: $\displaystyle{\int\dfrac{dx}{x^2+a^2}=\dfrac{1}{a}\cdot\arctan\left(\dfrac{x}{a}\right)+C$, então sabendo que $9=3^2$, temos

$\displaystyle{\int_{-\infty}^3\dfrac{dx}{x^2+9}=\dfrac{1}{3}\cdot\arctan\left(\dfrac{x}{3}\right)~\biggr|_{-\infty}^3$

Então, aplicamos os limites de integração de acordo com o Teorema fundamental do cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$.

$\dfrac{1}{3}\cdot\arctan\left(\dfrac{3}{3}\right)-\underset{x\rightarrow-\infty}\lim~\dfrac{1}{3}\cdot\arctan\left(\dfrac{x}{3}\right)$

Simplifique a fração

$\dfrac{1}{3}\cdot\arctan(1)-\underset{x\rightarrow-\infty}\lim~\dfrac{1}{3}\cdot\arctan\left(\dfrac{x}{3}\right)$

Aplique a propriedade de limites: $\underset{x\rightarrow c}\lim~a\cdot f(x)=a\cdot\underset{x\rightarrow c}\lim~f(x)$

$\dfrac{1}{3}\cdot\arctan(1)-\dfrac{1}{3}\cdot\underset{x\rightarrow-\infty}\lim~\arctan\left(\dfrac{x}{3}\right)$

Calcule o limite, sabendo que $\underset{x\rightarrow-\infty}\lim~\arctan(x)=-\dfrac{\pi}{2}$

$\dfrac{1}{3}\cdot\arctan(1)-\dfrac{1}{3}\cdot\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)$

Lembre-se que $\arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}$

$\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{3}\cdot\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)$

Multiplique as frações

$\dfrac{\pi}{12}-\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$

Some as frações

$\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi}{6}\\\\\\\\ \dfrac{\pi}{4}$

Esta é integral converge e este é o seu resultado.