Question

A integral dupla aplicada a uma função de mais de uma variável real pode ser utilizada para encontrar o volume de um objeto, desde que se consiga representar os contornos do objeto por uma função. Considere que a função a seguir represente um dado objeto:
f(x, y) = x^2 + 4xy +7


Pelo cálculo do volume por integral dupla, analise as afirmações a seguir:

I. Considerando que x varie de 0 a 5cm e y varie de 0 a 2cm, o volume de um líquido que ocupe completamente o sólido é de 135cm3.
II. Considerando que x varie de 0 a 3cm e y varie de 2 a 4cm, o volume de um líquido que ocupe completamente o sólido é de 168cm3.
III. Considerando que x varie de 2 a 4cm e y varie de 0 a 3cm, o volume de um líquido que ocupe completamente o sólido é de 255cm3.

É correto o que se afirma em:
Alternativas

Alternativa 1:
I, apenas.

Alternativa 2:
II, apenas.

Alternativa 3:
III, apenas.

Alternativa 4:
I e II, apenas.

Alternativa 5:
I, II e III.

Answer 1

Vamos analisar cada afirmação:

I. Temos que 0 ≤ x ≤ 5 e 0 ≤ y ≤ 2.

Então:

$\int\limits^2_0 \int\limits^5_0 {x^2+4xy+7} \, dx dy=$

$\int\limits^2_0 {\frac{x^3}{3}+2x^2y+7x} \, dy =$

Substituindo os limites de integração de x:

$\int\limits^2_0 {\frac{125}{3}+50y+35} \, dy=$

$\int\limits^2_0 {50y+\frac{230}{3}} \, dy =$

$25y^2+\frac{230y}{3}=$

Substituindo os limites de integração de y:

$100+\frac{460}{3}=$

$\frac{760}{3}$

A afirmação está errada.

II. Temos que 0 ≤ x ≤ 3 e 2 ≤ y ≤ 4.

Ento,

$\int\limits^4_2 \int\limits^3_0 {x^2+4xy+7} \, dxdy =$

$\int\limits^4_2 {\frac{x^3}{3}+2x^2y+7x} \, dy=$

Substituindo os limites de integração de x:

$\int\limits^4_2 {9+18y+21} \, dy=$

$\int\limits^4_2 {30+18y} \, dy =$

30y + 9y² =

Substituindo os limites de integração de y:

120 + 144 - 60 - 36 =

168

A afirmação está correta.

III. Temos que 2 ≤ x ≤ 4 e 0 ≤ y ≤ 3.

Então,

$\int\limits^3_0 \int\limits^4_2 {x^2+4xy+7} \, dxdy$

$\int\limits^3_0 {\frac{x^3}{3}+2x^2y+7x} \, dy=$

Substituindo os limites de integração de x:

$\int\limits^3_0 {\frac{64}{3}+32y+28-\frac{8}{3}-8y-14} \, dy=$

$\int\limits^3_0 {\frac{56}{3}+24y+14} \, dy=$

$\int\limits^3_0 {24y+\frac{98}{3}} \, dy=$

$12y^2+\frac{98y}{3}=$

Substituindo os limites de integração de y:

108 + 98=

206

A afirmação está errada.

Portanto, a alternativa correta é a alternativa 2.