Question

A integral definida da função vetorial r(t) = (t² - 1)i + (2t +1)j + (t³)k para t pertencente ao intervalo [0,2]

Answer 1

olá :) 

Quando fazemos a integração de uma função vetorial, basta integrar cada um dos seus componentes em x, y e z, e caso a mesma seja uma integral definida como é o caso, aplicar os limites de intregração ao resultado. 

$\int\limits^0_2 {t}^{2}-1} \, dx = \int\limits^0_2 {t}^{2} - \int\limits^2_0 {1} = \frac{t^{3} }{3} - t$

Aplicando os limites de integração: 
$[ \frac{2^{3}}{3} - 2] - [ \frac{0^{3}}{3} - 0] = \frac{2}{3}$

fazendo o mesmo agora com y e z. 

$\int\limits^0_2 {2t +1} \, dx = \int\limits^0_2 {2t}\, dx + \int\limits^2_0 {1} \,dx = t^{2} + t$
$[2}^{2} + 2] - [0^{2} + 0] = 6$


$\int\limits^2_0 {t^{3}} \, dx = \frac{t^{4}}{4} = [ \frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4} ] = 4$