Question

A integral de linha ʃc ( x + yz) dx + 2x dy + xy² dz, em que C é a curva dada pelas equações: x= 1- t²; y= 3t + 1; z= 1, com 0≤ t≤ 1, vale:
1,00
0,50
3,00
1,50
2,25

Answer 1

Resposta: O valor desta integral de linha é igual a 0,50.

Queremos encontrar o valor de uma integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva C no espaço ℝ³.

$\displaystyle \int_C \vec{F}\cdot\vec{dr}\\\\ \displaystyle =\int_C (x+yz)dx+2xdy+xy^2dz$

De acordo com a pergunta podemos verificar que o campo vetorial para esta pergunta é:

$\vec{F}= P(x,~y,~z)\vec{i}+Q(x,~y,~z)\vec{j}+R(x,~y,~z)\vec{k}\\\\ \vec{F}= (x+yz)\vec{i} + 2x\vec{j} + xy^2\vec{k}$

Podemos ver que o valor dos componentes do nosso campo vetorial são iguais às seguintes funções reais de três variáveis:

$\begin{cases} P(x,~y,~z)\quad=\quad x+yz\\\\ Q(x,~y,~z)\quad=\quad 2x\\\\ R(x,~y,~z)\quad=\quad xy^2\end{cases}$

A curva sobre a qual calcularemos a integral de linha é a curva C, parametrizada da seguinte forma:

$\begin{cases} x\quad=\quad1-t^2\\\\ y\quad=\quad 3t+1\\\\ z\quad=\quad1\end{cases}$

Para encontrar o valor desta integral de linha, a primeira coisa que faremos é encontrar o vetor tangente da curva parametrizada C, bastará derivar os componentes da curva C em relação à variável t.

$C'(t)= \left<x'(t),~y(t),~z(t) \right>\\\\ C'(t)= \left<\dfrac{d}{dt}1-t^2,~\dfrac{d}{dt}3t+1,~\dfrac{d}{dt}1\right>\\\\ C'(t)=\left<-2t,~3,~0\right>$

Agora para encontrar o valor desta integral de linha, o que vamos fazer é escrever o produto escalar entre o campo vetorial $\vec{F}$ vezes a linha tangente C'(t), para isso nós vamos substituir as variáveis x,y e z por suas respectivas equações da curva parametrizada C. Fazendo isso obteremos a integral:

$\displaystyle \int_C \vec{F}\cdot \vec{dr}\\\\ =\displaystyle \int^1_0 F\left(x(t),~y(t),~z(t)\right)\cdot C'(t) dt\\\\ =\displaystyle \int^1_0 \left(x+yz,~ 2x,~ xy^2\right) \cdot \left<-2t,~3,~0\right>dt\\\\ = \displaystyle \int^1_0 \left(1-t^2+(3t+1)\cdot 1,~2(1-t^2),~(1-t^2)\cdot(3t+1)^2\right)\cdot\left<-2t,~3,~0\right>dt\\\\ = \displaystyle \int^1_0 \left(1-t^2+3t+1,~2-2t^2,~(1-t^2)\cdot(9t^2+6t+1)\right)\cdot\left<-2t,~3,~0\right>dt\\\\ = \displaystyle \int^1_0 \left(2-t^2+3t,~2-2t^2,~-9t^4-6t^3+8t^2+6t+1\right)\cdot\left<-2t,~3,~0\right>dt\\\\ = \displaystyle \int^1_0 \left(\left(2-t^2+3t\right)\cdot -2t,~(2-2t^2)\cdot 3,~\left(-9t^4-6t^3+8t^2+6t+1\right)\cdot0\right)dt\\\\ = \displaystyle \int^1_0 \left(-4t+2t^3-6t^2,~6-6t^2,~0\right)dt$

Simplificando nossa integral, podemos ver que o valor da integral de linha original é dado pela seguinte integral definida:

$=\displaystyle \int^1_0 \left[-4t+2t^3-6t^2+6-6t^2+0dt\right]\\\\ =\displaystyle \int^1_0 \left[-4t+2t^3-12t^2+6\right]dt\\\\ =\displaystyle \left[ -\dfrac{4t^2}{2} +\dfrac{2t^4}{4}-\dfrac{12t^3}{3}+6t\right]^1_0\\\\ =\left[-2t^2+\dfrac{1t^4}{2} -4t^3+6t\right]^1_0\\\\= \left[-2\cdot1^2+\dfrac{1\cdot1^4}{2} -4\cdot 1^3+6\cdot 1\right]-\left[-2\cdot0^2+\dfrac{1\cdot0^4}{2} -4\cdot 0^3+6\cdot 0\right]\\\\ =\left[-2+\dfrac{1}{2}-4+6\right]-0\\\\ =\dfrac{1}{2}$

Podemos ver que o valor desta integral definida é igual a 1/2 o que significa que o valor desta integral de linha também é igual a 1/2 que é equivalente a 0,5.