Question

A integral 2+cos x dx vale:

Answer 1

• A integral da função dada é igual a:

  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int 2+\cos (x) dx = 2x+\sin (x)+\mathbb{C} \ |\ \mathbb{C}\in \mathbb{R} \end{gathered}$

A derivação e a integração são processos inversos, ou seja , suponha que temos uma função f(x) , sua primitiva ou antiderivada será igual a um certo F(x) , sendo que se derivarmos a função F(x) teremos novamente a função f(x) . Tal definição é dada da seguinte forma:

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boxed{ \int f(x) dx = F(x) \ \leftrightarrow F'(x)=f(x)}} }\end{gathered} }$

❏ Sabendo disso, vamos para a questão. Mas antes, vale ressaltar as seguinte propriedades de integração:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\int f(x) \pm g(x)\ dx = \int f(x) dx \pm \int g(x)dx\ \ \green{( I)}\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\int \alpha \cdot f(x)\ dx = \alpha \cdot F(x) +\mathbb{C}\ |\ \mathbb{C}\in \mathbb{R}\ \ \green{( II)}\end{gathered}$

☁️ Pronto, vamos então para a sua questão. Dada a função f(x) = 2+cos(x) , temos que sua primitiva F(x) será dada por:

 $\Large\displaystyle\begin{gathered}F(x)=\int 2+\cos(x)\ dx \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}F(x)=\int 2\ dx+\int \cos(x)\ dx \end{gathered}$ $\Large\displaystyle\begin{gathered}F(x)=2\cdot \int dx+\int \cos(x)\ dx \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}F(x)=2x+\underbrace{\int \cos(x)\ dx }_{integral (II) }\end{gathered}$

Marquei a integral do cos(x) como integral II para assim ficar mais fácil de entender, bom , sabemos que a integração e a derivação são processos inversos, logo , a derivada do sen(x) é o cos(x) e portanto a primitiva do cos(x) é o sen(x). Sabendo disso, temos então que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}F(x)=2x+\int \cos(x)\ dx \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\green{\boxed{F(x)=2x+ \sin(x) +\mathbb{C} \ | \ \mathbb{C}\in \mathbb{R} }}\ \ (\checkmark) \end{gathered} }$

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