Question

A integral ∫1−4x2−−−−−−√dx∫1−4x2dx pode ser avaliada pela técnica da substituição trigonométrica. O seu valor é

Escolha uma:

a. 12arccos(2x)−14x1−4x2−−−−−−√+C12arccos(2x)−14x1−4x2+C

b. 14arcsen(2x)−14x1−4x2−−−−−−√+C14arcsen(2x)−14x1−4x2+C


c. 14arcsen(2x)−12x1−4x2−−−−−−√+C14arcsen(2x)−12x1−4x2+C

d. 14arccos(2x)−12x1−4x2−−−−−−√+C14arccos(2x)−12x1−4x2+C

e. 12arcsen(2x)−14x1−4x2−−−−−−√+C


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Answer 1

Resposta:

∫ √(1-4x²) dx

x= (1/2)*sen(u)    ==> dx =(1/2) * cos(u) du

∫ √(1-4*(1/4)*sen²(u))  (1/2) * cos(u) du

∫ √(1-sen²(u))  (1/2) * cos(u) du

***Relação Fundamental da trigonometria =>sen²(u)+cos²(u)=1

(1/2)* ∫ √cos²(u) * cos(u) du

(1/2)* ∫ cos(u) * cos(u) du

(1/2)* ∫ cos²(u)  du

**cos(u+u) =cos²(u)-sen²(u) =2cos²(u)-1

**cos²(u)=(cos(2u)+1))/2

(1/2)* ∫ (cos(2u)+1))/2 du

(1/4)* ∫ cos(2u)+1 du  = (1/4)*[ sen(u) * cos(u)+ u]  + const

Sabemos que   x= (1/2)*sen(u)

*** sen(u) =2x

***u= arcsen(2x)

***cos(u) =√(1-sen²(u))

(1/4)*[ 2x * √(1-sen²(u))+arcsen(2x)]  + const

(1/4)*[ 2x * √(1-sen²(u))+arcsen(2x)]  + const

(1/4)*[ 2x * √(1-4x²)+arcsen(2x)]  + const

=(1/4) * arcsen(2x) + (1/2)*x* √(1-4x²) + const