Question

A integral ∫π02πxsen2(x)dx representa o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, da região limitada por y=sen(x), y=0, x=0 e x=π.

Answer 1

Através dos cálculos realizados, temos que o volume do sólido é igual a 2π².

Integrais definidas

Com as informações dadas no enunciados, devemos achar o volume do sólido dado. Para isso, basta resolvermos a seguinte integral definida:

 $\large\displaystyle\begin{gathered}2\pi \int_0^{\pi} x\sin(x)dx\end{gathered}$

Perceba que temos a integral de um produto entre duas funções, logo, iremos integrar por partes. Para isso, temos a seguinte fórmula:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\int u dv= uv-\int vdu\end{gathered}$

Mas como estamos lidando com uma integral definida, logo:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\boxed{\int_a^b u dv= uv\bigg|_a^b-\int_a^b vdu}\end{gathered}$

Pelo método do LIATE, temos que o x será o u e dv será o que sobrou, que no caso foi sin(x) dx . Com isso, como du = u' dx e v = ∫ dv . Logo:

$\large\displaystyle\begin{gathered} \int_0^{\pi} x\sin(x)dx=-x\cos(x)\bigg|_0^\pi +\int_0^\pi \cos(x) dx\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} \int_0^{\pi} x\sin(x)dx=-x\cos(x)\bigg|_0^\pi +\sin(x)\bigg|_0^\pi\end{gathered}$

Agora, vale ressaltar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que:

$\large\displaystyle\begin{gathered} \int_a^bf(x)dx = F(x)\bigg|_a^b = F(b)-F(a)\ \ _\blacksquare\end{gathered}$

Aplicando na questão, temos que:

$\large\displaystyle\begin{gathered} \int_0^{\pi} x\sin(x)dx=-\pi\cos(\pi)+\sin(\pi)-\sin(0)\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} \int_0^{\pi} x\sin(x)dx=\pi+0-0\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} \int_0^{\pi} x\sin(x)dx=\pi\end{gathered}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{ 2\pi\int_0^{\pi} x\sin(x)dx=2\pi^2}}\ \ \checkmark\end{gathered} }$

Para mais exercícios sobre integrais, acesse:

brainly.com.br/tarefa/6211392

Espero ter ajudado! :)

#SPJ4