Question

A integração por substituição pode ser executada quando se tem funções compostas, ou seja, uma função dentro da outra. Desta forma, a técnica permite realizar a integração com um grau de facilidade maior. Utilizando os conceitos da integração por substituição, resolva a integral definida entre 0 e 2 da seguinte função exponencial:

f(x) = 3e^5x - 8

​Com base nos dados apresentados assinale a alternativa que apresente corretamente o resultado da integração:

Alternativas
Alternativa 1:
2,18.

Alternativa 2:
3,25.

Alternativa 3:
4,43.

Alternativa 4:
5,10.

Alternativa 5:
5,95.

Answer 1

Utilizando o conceito de integral do, Cálculo Diferencial e Integral, tem-se que a integral definida de f(x) n no intervalo [0,2] é igual a 4,43 (alternativa 3).

Pelo enunciado almeja-se saber o resultado da integral definida entre o intervalo [0,2] para a função f(x):

$\int\limits^0_2 {3e^{5x-8}} \ dx$ (i)

Para resolvê-la, basta utilizar integral por substituição, chamando o exponente da função exponencial de u:

$u=5x-8\\\\\frac{du}{dx}=5 \ \therefore{} \ dx=\frac{1}{5} \ du$

Substituindo 5x-8 por u e dx por du/5 em (i), respectivamente:

$\int\limits^0_2 3e^{u} \ \frac{1}{5} \ du\\ \\=\frac{3}{5} \int\limits^0_2 e^{u} \ du\\\\=\frac{3}{5} e^{u} |^{2}_{0}$

Substituindo u por 5x-8 novamente, obtém-se o resultado final:

$\frac{3}{5} e^{u} |^{2}_{0}\\\\=\frac{3}{5} e^{5x-8} |^{2}_{0}\\\\=\frac{3}{5}e^{2}-\frac{3}{5}e^{-8}\\\\=\pmb{4,43}$

Segue outro exemplo envolvendo Integral: https://brainly.com.br/tarefa/24099014