Question

A integração em coordenadas polares é muito utilizada para encontrar a área de curvas representadas por coordenadas polares. Uma técnica de integração muita utilizada para calcular integrais é a substituição trigonométrica.

Sobre integração por substituição trigonométrica, calcule:


∫dx4+x2−−−−−−√

Answer 1

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$\displaystyle\sf\int\dfrac{dx}{\sqrt{4+x^2}}\\\sf fac_{\!\!,}a~x=2tg(\theta)\implies dx=2sec^2(\theta)d\theta\\\sf\sqrt{4+x^2}=\sqrt{4+4tg^2(\theta)}=\sqrt{4(1+tg^2(\theta))}\\\sf\sqrt{4+x^2}=\sqrt{4sec^2(\theta)}=2sec(\theta)$

$\displaystyle\sf\int\dfrac{dx}{\sqrt{4+x^2}}=\int\dfrac{\diagup\!\!\!2\diagdown\!\!\!\!\!sec^2(\theta)}{\diagup\!\!\!2\diagdown\!\!\!\!\!sec(\theta)}d\theta=\int sec(\theta)d\theta=\ell n|sec(\theta)+tg(\theta)|+k\\\sf sec(\theta)=\dfrac{\sqrt{4+x^2}}{2}~tg(\theta)=\dfrac{x}{2}\\\huge\boxed{\displaystyle\sf\int\dfrac{dx}{\sqrt{4+x^2}}=\ell n\left|\dfrac{\sqrt{4+x^2}+x}{2}\right|+k}\checkmark$