Question

a inequação -x²+12x+45>0

Answer 1

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Resolver a inequação:

$\mathsf{-x^2+12x+45>0}\\\\ \mathsf{0>x^2-12x-45}\\\\ \mathsf{x^2-12x-45<0\qquad\quad(i)}$


Vamos encontrar as raízes do lado esquerdo:

$\left\{\!\begin{array}{l} \mathsf{a=1}\\\mathsf{b=-12}\\\mathsf{c=-45} \end{array}\right.\\\\\\\\ \mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Delta=12^2-4\cdot 1\cdot (-45)}\\\\ \mathsf{\Delta=144+180}\\\\ \mathsf{\Delta=324}$


As raízes do lado esquerdo da inequação são:

$\begin{array}{rcl} \mathsf{r_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\ \mathsf{r_1=\dfrac{-(-12)-\sqrt{324}}{2\cdot 1}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{-(-12)+\sqrt{324}}{2\cdot 1}}\\\\ \mathsf{r_1=\dfrac{12-18}{2}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{12+18}{2}}\\\\ \mathsf{r_1=\dfrac{-6}{2}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{30}{2}}\\\\ \mathsf{r_1=-3}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=15}\quad\longleftarrow\quad\textsf{(ra\'izes)} \end{array}$


Fatorando o lado esquerdo de $\mathsf{(i)},$ ficamos com

$\mathsf{a(x-r_1)(x-r_2)<0}\\\\ \mathsf{(x-(-3))(x-15)<0}\\\\ \mathsf{(x+3)(x-15)<0}\quad\longleftarrow\quad\textsf{inequa\c{c}\~ao-produto\qquad(ii)}$


Montando o quadro de sinais:

$\begin{array}{cc} \mathsf{x+3}&\mathsf{\underline{~~---}\underset{-3}{\bullet}\underline{++++}\underset{15}{\bullet}\underline{+++~~}_{\blacktriangleright}}\\\\ \mathsf{x-15}&\mathsf{\underline{~~---}\underset{-3}{\bullet}\underline{----}\underset{15}{\bullet}\underline{+++~~}_{\blacktriangleright}}\\\\\\ \mathsf{(x+3)(x-15)}&\mathsf{\underline{~~+++}\underset{-3}{\bullet}\underline{----}\underset{15}{\bullet}\underline{+++~~}_{\blacktriangleright}} \end{array}$


Queremos que o produto do lado esquerdo de $\mathsf{(ii)}$ seja negativo. Logo, o intervalo de interesse é

$\mathsf{-3<x<15.}$


Conjunto solução:   $\mathsf{S=\{x\in\mathbb{R}:~-3<x<15\}}$


ou em notação de intervalos,

$\mathsf{S=\left]-3,\,15\right[.}$


Bons estudos! :-)


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