Question

A inequação | x – 7 | ≤ 3 corresponde aos pontos da reta real cuja distância a 7 é menor ou igual a 3.
Como se expressa o raciocínio acima quando se tem a inequação | 2x² – 5x - 4 | ≤ 1?
E se fosse | 2x² – 5x - 4 | ≥ 1?

Answer 1

Resposta:

a)

| 2x² – 5x - 4 | ≤ 1

Se 2x² – 5x - 4 ≥ 0 ==>5/4 -√57/4 ≥   x  ≥ 5/4 +√57/4    (i)

2x² – 5x - 4 ≤ 1

2x² – 5x - 5 ≤ 0  ==> 5/4 -√65/4 ≤   x  ≤ 5/4 +√65/4  (ii)

(i) ∩ (ii)   5/4 -√65/4 ≤   x   ≤  5/4 -√57/4  U   5/4 +√57/4  ≤ x ≤ 5/4 +√65/4 (iii)

Se 2x² – 5x - 4 < 0 ==>5/4 - √57/4 <   x  < 5/4 +√57/4    (i)

-(2x² – 5x - 4) ≤   1

2x² – 5x - 4 ≥   -1  

2x² – 5x - 3 ≥   0 ==> -1/2 ≥   x  ≥ 3  (ii)

(i) ∩ (ii)  5/4 - √57/4 < x ≤ -1/2  U 3 ≤   x < 5/4 +√57/4  (iv)

(iii)  U   (iv)

5/4 -√65/4 ≤   x ≤ -1/2  U  3 ≤   x  ≤ 5/4 +√65/4

b)

| 2x² – 5x - 4 | ≥ 1

é o contrário da anterior

5/4 -√65/4≥   x ≥ -1/2  U  3 ≥   x  ≥ 5/4 +√65/4

5/4 -√65/4≥ x   U  -1/2 ≤ x ≤ 3  U x ≥ 5/4 +√65/4

Answer 2

Observemos primeiramente o processo de resolução da primeira desigualdade mais simples:

    $\mathsf{|x-7|\le 3}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad -3\le x-7\le 3}$

Somando 7 a todos os membros, obtemos

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad -3+7\le x\le 3+7}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad 4\le x\le 10}$

Portanto, o conjunto solução é o intervalo [4, 10].

Perceba que 7 = (10 + 4)/2 é o ponto médio desse intervalo, e a distância do 7 até qualquer um dos extremos é 3 = (10 − 4)/2.

Para generalizar, dados a, b números reais, com b ≥ a, resolvamos a seguinte desigualdade:

    $\mathsf{\left|x-\dfrac{a+b}{2}\right|\le \dfrac{b-a}{2}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad-\,\dfrac{b-a}{2}\le x-\dfrac{a+b}{2}\le \dfrac{b-a}{2}}$

Somando (a + b)/2 a todos os membros, obtemos

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{b-a}{2}\le x\le \dfrac{a+b}{2}+\dfrac{b-a}{2}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad\dfrac{a+b-(b-a)}{2}\le x\le \dfrac{a+b+b-a}{2}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad\dfrac{a+\diagup\!\!\!\! b-\diagup\!\!\!\! b+a}{2}\le x\le \dfrac{\diagup\!\!\!\! a+b+b-\diagup\!\!\!\! a}{2}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2a}{\diagup\!\!\!\! 2}\le x\le \dfrac{\diagup\!\!\!\! 2b}{\diagup\!\!\!\! 2}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad a\le x\le b}$

Como esperado, o conjunto solução é o intervalo [a, b]. De fato, esse é o conjunto de todos os números cuja distância até $\mathsf{\dfrac{a+b}{2}}$  é menor ou igual a $\mathsf{\dfrac{b-a}{2}.}$

Analogamente, mostra-se que a solução para a inequação com a relação ≥

    $\mathsf{\left|x-\dfrac{a+b}{2}\right|\ge \dfrac{b-a}{2}}$

é o conjunto de todos os números cuja distância até  $\mathsf{\dfrac{a+b}{2}}$  é maior ou igual a $\mathsf{\dfrac{b-a}{2}.}$

Porém o que acontece ao resolvermos uma inequação modular envolvendo uma expressão quadrática? Vejamos:

a) Resolver a desigualdade

    $\mathsf{|2x^2-5x-4|\le 1}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad-1\le 2x^2-5x-4\le 1}$

Some 4 a todos os membros:

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad-1+4\le 2x^2-5x\le 1+4}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad 3\le 2x^2-5x\le 5}$

Divida todos os membros por 2 para que o coeficiente de x² seja igual a 1:

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad \dfrac{3}{2}\le x^2-\dfrac{5}{2}\,x\le \dfrac{5}{2}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \dfrac{3}{2}\le x^2-2\cdot \dfrac{5}{4}\cdot x\le \dfrac{5}{2}}$

Para completar o quadrado, some (5/4)² = 25/16 a todos os membros:

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad \dfrac{3}{2}+\dfrac{25}{16}\le x^2-2\cdot \dfrac{5}{4}\cdot x+\dfrac{25}{16}\le \dfrac{5}{2}+\dfrac{25}{16}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \dfrac{24}{16}+\dfrac{25}{16}\le \left(x-\dfrac{5}{4}\right)^{\!2}\le \dfrac{40}{16}+\dfrac{25}{16}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \dfrac{49}{16}\le \left(x-\dfrac{5}{4}\right)^{\!2}\le \dfrac{65}{16}}$

A dupla desigualdade acima só envolve termos positivos, então a expressão se mantém equivalente ao tomarmos as raízes quadradas dos membros:

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad \sqrt{\dfrac{49}{16}}\le \sqrt{\left(x-\dfrac{5}{4}\right)^{\!2}}\le \sqrt{\dfrac{65}{16}}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \dfrac{7}{4}\le \left|x-\dfrac{5}{4}\right|\le \dfrac{\sqrt{65}}{4}}$

Já obtivemos uma desigualdade cuja forma é semelhante à da que foi dada no início da questão. Com efeito, a dupla desigualdade acima tem como solução todos os números cuja distância até 5/4 é maior ou igual a 7/4, e menor ou igual a (√65)/4.

b) Resolver a desigualdade

         $\mathsf{|2x^2-5x-4|\ge 1}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad 2x^2-5x-4\le -1\qquad ou\qquad 2x^2-5x-4\ge 1}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad 2x^2-5x\le -1+4\qquad ou\qquad 2x^2-5x\ge 1+4}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad 2x^2-5x\le 3\qquad ou\qquad 2x^2-5x\ge 5}$

Dividindo todos os membros por 2,

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad x^2-\dfrac{5}{2}\,x\le \dfrac{3}{2}\qquad ou\qquad x^2-\dfrac{5}{2}\,x\ge \dfrac{5}{2}}$

Some (5/4)² = 25/16 a todos os membros para completar o quadrado:

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad x^2-\dfrac{5}{2}\,x+\dfrac{25}{16}\le \dfrac{3}{2}+\dfrac{25}{16}\qquad ou\qquad x^2-\dfrac{5}{2}\,x+\dfrac{25}{16}\ge \dfrac{5}{2}+\dfrac{25}{16}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \left(x-\dfrac{5}{4}\right)^{\!2}\le \dfrac{49}{16}\qquad ou\qquad \left(x-\dfrac{5}{4}\right)^{\!2}\ge \dfrac{65}{16}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \left|x-\dfrac{5}{4}\right|\le \dfrac{7}{4}\qquad ou\qquad \left|x-\dfrac{5}{4}\right|\ge \dfrac{\sqrt{65}}{4}}$

Novamente, obtivemos a união de duas desigualdades similares à que foi dada na tarefa. A solução para ambas é a reunião de todos os números cuja distância até 5/4 é menor ou igual a 7/4 com todos os números cuja distância até 5/4 é maior ou igual a (√65)/4.

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